Cho biểu thức A=\(\frac{2a^2+4}{1-a^2}-\frac{1}{1+\sqrt{a}}-\frac{1}{1-\sqrt{a}}\)
a.Rút gọn biểu thức
b.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
cho biểu thức A=\(\dfrac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\) (với a>0)
a.rút gọn biểu thức A
b.tính giá trị nhỏ nhất của A
Lời giải:
a.
\(A=\frac{\sqrt{a}(a\sqrt{a}+1)}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}(2\sqrt{a}+1)}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)(a-\sqrt{a}+1)}{a-\sqrt{a}+1}-(2\sqrt{a}+1)+1\)
\(=\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)-(2\sqrt{a}+1)+1=a-\sqrt{a}\)
b.
$A=a-\sqrt{a}=(\sqrt{a}-0,5)^2-0,25\geq -0,25$ với mọi $a>0$
Vậy $A_{\min}=-0,25$ khi $\sqrt{a}-0,5=0$
$\Leftrightarrow a=0,25$
Cho biểu thức \(A=\left(\frac{2x+\sqrt{x}-1}{1-x}+\frac{2x\sqrt{x}+x-\sqrt{x}}{1+x\sqrt{x}}\right):\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-x}\)
a. Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị x để giá trị của biểu thức A =2/3
c. Biểu thức A có giá trị lớn nhất không ? Vì sao ?
\(\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\)
a) Rút gọn biểu thức trên
b)Tìm a để biểu thức trên = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên
a) \(\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)
\(=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-2\sqrt{a}-1+1\)
\(=\frac{a^2-\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-2\sqrt{a}\)
b) \(\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-2\sqrt{a}=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+\sqrt{a}.\left(a-\sqrt{a}+1\right)-2\sqrt{a}.\left(a-\sqrt{a}+1\right)=2\left(a-\sqrt{a}+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\sqrt{a}.a+2a-\sqrt{a}-2a=2a-2\sqrt{a}+2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2\sqrt{a}.a+2a-\sqrt{a}-2a=-2\sqrt{a}+2\)
\(\Leftrightarrow-2\sqrt{a}.a+2a-\sqrt{a}-2a=-2\sqrt{a}+2-a^2\)
\(\Leftrightarrow-2\sqrt{a}.a-\sqrt{a}=-2\sqrt{a}+2-a^2\)
\(\Leftrightarrow-2a\sqrt{a}+\sqrt{a}=2-a^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}.\left(2a+1\right)=2-a^2\)
\(\Leftrightarrow\left[\sqrt{a}.\left(2a+1\right)\right]^2=\left(2-a^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^3-4a^2+a=4-4a^2+a^4\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=4\left(\text{thỏa mãn}\right)\\a=1\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)
=> a = 4
Cách ngắn hơn :
\(đkxđ\Leftrightarrow x\ge0\)
\(A=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}^3+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}\)\(-2\sqrt{a}-1+1\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-2\sqrt{a}\)
\(=a+\sqrt{a}-2\sqrt{a}=a-\sqrt{a}\)
\(b,A=2\Rightarrow a-\sqrt{a}=2\)
\(\Rightarrow a-\sqrt{a}-2=0\)
\(\Rightarrow a+\sqrt{a}-2\sqrt{a}-2=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-2\left(\sqrt{a}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{a}=2\\\sqrt{a}=-1\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=4\\a\in\varnothing\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow a=4\)
\(c,A=a-\sqrt{a}=\sqrt{a}^2-2.\sqrt{a}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\)
\(=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow A_{min}=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\Rightarrow a=\frac{1}{4}\)
Vậy với \(a=\frac{1}{4}\)thì A có giá trị nhỏ nhất là \(-\frac{1}{4}\)
cho 2 biểu thức
A=\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}\)
B=\(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\)
a)Rút gọn biểu thức A
b)Tìm giá trị của x để biểu thức S=A.B có giá trị lớn nhất
a)\(ĐKXĐ\Leftrightarrow\begin{cases}\sqrt{x}\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)
\(A=\frac{\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}+2\right)+1\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{x+2\sqrt{x}+\sqrt{x}-1-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\)
b)\(S=A\cdot B\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+2+1}{\sqrt{x}+2}\)
\(=1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\)
Để S đạt GTLN thì \(\frac{1}{\sqrt{x}+2}\) đạt GTLN
\(\frac{1}{\sqrt{x}+2}\) đạt GTLN \(\Leftrightarrow\sqrt{x}+2\) đạt GTNN
GTNN \(\sqrt{x}+2\) là 2 \(\Leftrightarrow x=0\)
Vậy GTLN của S là \(\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=0\)
ĐKXĐ \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}\ge0\) và \(\sqrt{x}-1\ne0\)
\(\Leftrightarrow x\ge0\) và \(x\ne1\)
SAO KHÔNG XEM ĐƯỢC VẬY TOÀN LEFT RIGHT FRAC CÁI GÌ CHẢ HIỂU NỔI
cho 2 biểu thức
A=\(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}\)
B=\(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\)
a)Rút gọn biểu thức A
b)Tìm giá trị của x để biểu thức S=A.B có giá trị lớn nhất
a/ \(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\) \(\left(ĐK:x\ge0;x\ne1\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)+\sqrt{x}-1-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{x+2\sqrt{x}+\sqrt{x}-1-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\)
1. Cho biểu thức A = \(\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+1\right):\left(\frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-1\right)\)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x=9
c) Tìm x để A=5
d) Tìm x để A<1
e) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
2. Cho hai biểu thức P = \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) và A = \(\left(\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
a) Tính giá trị biểu thức P khi x = \(\frac{1}{4}\)
b) Rút gọn biểu thức A
c) So sánh giá trị biểu thức A với 1
d) Tìm giá trị của x để \(\frac{P}{A}\left(x-1\right)=0\)
1. Cho biểu thức A = \(\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+1\right):\left(\frac{x+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-1\right)\)
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x=9
c) Tìm x để A=5
d) Tìm x để A<1
e) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
2. Cho hai biểu thức P = \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\) và A = \(\left(\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
a) Tính giá trị biểu thức P khi x = \(\frac{1}{4}\)
b) Rút gọn biểu thức A
c) So sánh giá trị biểu thức A với 1
d) Tìm giá trị của x để \(\frac{P}{A}\left(x-1\right)=0\)
Cho biểu thức A= \(\frac{10}{x-3\sqrt{x}-4}+\frac{1}{1+\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}-4}\)
a/ Rút gọn biểu thức A?
b/ Tìm giá trị của x để A = \(-\frac{1}{2}\)
c/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A?
cho biểu thức A= \(\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\) với a > 0
a) rút gọn biểu thức
b) tính giá trị nhỏ nhất của A.
cho biểu thức P= \(\left(\frac{a\sqrt{a}+1}{a-1}-\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}\right):\left(\sqrt{a}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\) với a > 0; a khác 1
a) rút gọn biểu thức
b) tính giá trị của P khi a = 3-2\(\sqrt{2}\)
2.
a, \(P=\left(\frac{a\sqrt{a}+1}{a-1}-\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}\right):\left(\sqrt{a}-\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)
\(=\left[\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}-\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}\right]:\frac{a-\sqrt{a}-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\)
\(=\left[\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{a-1}{\sqrt{a}-1}\right]:\frac{a-2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\)
\(=\frac{2-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}.\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-2\right)}=-\frac{1}{\sqrt{a}}\)
b, \(a=3-2\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)^2\Rightarrow\sqrt{a}=\sqrt{2}-1\)
Khi đó \(P=-\frac{1}{\sqrt{a}}=-\frac{1}{\sqrt{2}-1}=-\sqrt{2}-1\)
1.
a, \(A=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)
\(=a-\sqrt{a}\)
b, \(A=a-\sqrt{a}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\ge-\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow MinA=-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)
Cho biểu thức :
P=\(\dfrac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\)
a.Rút gọn P
b.Biết a > 1.Hãy so sánh P với \(\left|P\right|\)
c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
a) \(P=\dfrac{\sqrt{a}\left[\left(\sqrt{a}\right)^3+1\right]}{a-\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}}+1\)
\(P=\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)
\(P=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)
\(P=a+\sqrt{a}-2\sqrt{a}-1+1\)
\(P=a-\sqrt{a}\)
b) Với a > 1 thì \(a>\sqrt{a}\) , do đó \(P=a-\sqrt{a}>0\), suy ra \(\left|P\right|=P\)
c) \(A=a-\sqrt{a}=\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\)
Vậy A nhỏ nhất bằng \(-\dfrac{1}{4}\) khi cà chỉ khi \(\sqrt{a}=\dfrac{1}{2}\) hay \(a=\dfrac{1}{4}\)
a: \(P=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)-2\sqrt{a}-1+1=a-\sqrt{a}\)
b: a>1 nên P>0
\(\Leftrightarrow P=\left|P\right|\)