Cho tam giác nhọn ABC, 2 đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho \(\widehat{AMC}\) = \(\widehat{ANB}\) = \(90^o\). Chứng minh rằng: AM = AN
Theo đề có: `ΔAMC` là Δ vuông, đường cao `MD`.
=> `AM^2=AD.AC` (1)
`ΔANB` là Δ vuông, đường cao `NE`:
=> `AN^2=AE.AB` (2)
Lại có: `ΔABD=ΔACE`(g.g)
=> \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{AE}\Leftrightarrow AB.AE=AC.AD\left(3\right)\)
Từ (1), (2), (3) suy ra: `AM=AD` (đpcm)
$HaNa$
Cho \(\Delta ABC\)nhọn có O là giao điểm của 3 đường trung trực. Tia AO cắt cạnh AB tại D. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho \(DE=DB;DF=DC\). Chứng minh DA là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\)
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có hai đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\).
b) Phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(MN\) và \(BC\) lần lượt tại \(I\) và \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).
a) Vì \(BM\)là đường cao nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \); vì \(CN\)là đường cao nên \(\widehat {ANC} = 90^\circ \)
Xét tam giác \(AMB\) và tam giác \(ANC\) có:
\(\widehat A\) (chung)
\(\widehat {ANB} = \widehat {ANC} = 90^\circ \) (chứng minh trên)
Suy ra, \(\Delta AMB\backsim\Delta ANC\) (g.g).
Suy ra, \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ).
Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (tỉ lệ thức)
Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(ABC\) có:
\(\widehat A\) (chung)
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) (chứng minh trên)
Suy ra, \(\Delta AMN\backsim\Delta ABC\) (c.g.c).
b) Xét tam giác \(AMN\) có \(AI\) là đường phân giác của \(\widehat {MAN}\left( {I \in MN} \right)\).
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\)
Xét tam giác \(ABC\) có \(AK\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\left( {K \in BC} \right)\).
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)
Mà \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (chứng minh trên) nên \(\frac{{IM}}{{IN}} = \frac{{KB}}{{KC}}\) (điều phải chứng minh).
Cho \(\Delta ABC\)cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BD. Qua C kẻ đường thẳng song song với ED và qua D kẻ đường thẳng song song với AC. Hai đường thẳng này cắt nhau tại F. Chứng minh:
a) \(\widehat{ABC}>\widehat{DFC}.\)
b) \(\widehat{DBF}=\widehat{DFB}.\)
c) FC > BC.
Cho \(\Delta ABC\)nội tiếp đường tròn (O), các tia phân giác của các góc \(\widehat{ABC}\)và \(\widehat{ACB}\) cắt nhau tại I và cắt đường tròn lần lượt tại các điểm D và E. Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng:
a) các \(\Delta AMN,\Delta EAI,\Delta DAI\)là những tam giác cân
b) tứ giác AMIN là hình thoi
Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng: \(\Delta\)BDA đồng dạng \(\Delta\)BFC và BD.BC=BF.BA
b) CM: \(\widehat{BDF}=\widehat{BAC}\)
c) CM: BH.BE=BD.BC và BH.BE+CH.CF=BC2
d) Đường thẳng qua A song song BC cắt DF tại M. Gọi I là giao điểm của CM và AD. Chứng minh IE//BC
GIÚP MIK CÂU D IK. THANKS NHA!!
a) Xét \(\Delta BDA\)và \(\Delta BFC\) có:
\(\widehat{BDA}=\widehat{BFC}=90^0\)
\(\widehat{ABC}\) chung
suy ra: \(\Delta BDA~\Delta BFC\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{BD}{BF}=\frac{BA}{BC}\)
\(\Rightarrow\)\(BD.BC=BA.BF\)
Cho \(\Delta ABC\) nhọn có 2 đường cao BM và CN cắt nhau tại E
a)Chứng minh\(\Delta ABM\) đồng dạng với\(\Delta ACN\) và chứng minh \(\Delta BEN\) đồng dạng với \(\Delta CEM\)
b)Chứng minh \(\widehat{BNM}+\widehat{ACB}=180^o\)
c)Trên các đoạn thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm K và Q sao cho \(\widehat{AKC}=\widehat{AQB}=90^o\)
Chứng minh \(\frac{AC^2+BQ^2}{AB^2+CK^2}=1\)
Bài 1: Cho \(\Delta ABC\),đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A lấy 2 điểm D và E sao cho \(\Delta ABK\)và \(\Delta ACE\)vuông cân tại B và C. Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK=BC. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ABK=\Delta BDC\)
b)\(CD\perp BK\)và \(BE\perp CK\)
c) Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy
Bài 2: Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho \(\widehat{ABC}=3\widehat{ABD}\),trên canh AB lấy diểm E sao cho \(\widehat{ACB}=3\widehat{ACE}\).Gọi F là giao điểm của BD và CE. I là giao điểm các đường phân giác của\(\Delta BFC\).
a)Tính số đo \(\widehat{BFC}\)
b)Chứng minh \(\Delta BFE=\Delta BFI\)
c) Chứng minh IDE là tam giác đều
d)Gọi Cx là tia đối của tia CB, M là giao điểm của FI và BC. Tia phân giác của \(\widehat{FCx}\)cắt tia BF tại K. Chứng minh MK là tia phân giác của \(\widehat{FMC}\)
e) MK cắt CF tại điểm N. Chứng minh B, I, N thẳng hàng
Cho tam giác ABC nhọn có BD và CE là các đường cao. Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng ED. Đường thẳng qua E vuông góc với AC cắt CH tại F.
a) Chứng minh: BE=DF
b)Gọi I là giao điểm của DE và BF. Chứng minh I là trung điểm của GH.
C) DF cắt EC tại M. Đường thẳng qua E song song với AC cắt BD tại N. Chứng minh MN song song với BC.
