Cho phân số \(\frac{a}{b}\) ( a, b \(\in\) Z, a > 0, b = 0, a > b ). CMR: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Cho phân số :\(\frac{a}{b}\left(a,b>0\right)\)
CMR: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Quy đồng mẫu số ở vế trái:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
Ta cần chứng minh : \(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2\ge2ab\)
Chứng minh bất đẳng thức Cosi(lớp 8) : Ta luôn có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)\(a^2-2ab+b^2\ge0\)\(\Rightarrow a^2+b^2\ge0+2ab=2ab\)(1)
Từ (1) suy ra bài toán luôn đúng với mọi a,b hay \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow\)đpcm.
a) cho x,y,z>0 sao cho xyz=1. CMR \(\frac{x^4y}{x^2+1}+\frac{y^4z}{^{y^2+1}}+\frac{z^4x}{^{z^2+1}}\ge\frac{3}{2}\)
b) cho a,b,c,d>0 sao cho a+b+c+d=4. CMR \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2d}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2d}\ge2\)
Bài 1 : Cmr :
a, \(a+\frac{1}{a-1}\ge3\) với mọi a>1
b, \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) với mọi a \(\in R\)
Bài 2 : Cho a>0. Cmr \(\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge2\)
Bài 3 : Cho a,b,c>0. Cmr \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\)
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
cho a>0,b>0.CMR:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=2\)
⇔ \(\frac{a}{b}-1+\frac{b}{a}-1=0\)
⇔ \(\frac{a-b}{b}+\frac{b-a}{a}=0\)
⇔ \(\frac{a^2-ab+b^2-ba}{ab}=0\)
⇔ \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}=0\) (1)
mà \(\left(a-b\right)^2\ge0\)(khi a = b) và a>0, b>0 nên (1) >0
vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
sửa giùm chỗ (1) ≥ 0 chứ không phải (1) > 0
a) Cho x, y, z là các số dương, CMr: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge x+y+z\)
b) Cho a, b, c là b số dương. CMR: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2y\) ; \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\); \(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
a. \(\)Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương \(\frac{xy}{z}\) và \(\frac{yz}{x}\), ta có: \(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\) (1)
Hoàn toàn tương tự: \(\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\ge2z\) và \(\frac{xy}{z}+\frac{zx}{y}\ge2x\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Cho a, b, c, d >0. CMR:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}\ge2\)
Cho \(x,y,z\ge0\), không đồng thời bằng 0 CMR \(\sqrt[3]{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a+b}}\ge2\)
Đặt \(a=x^3;b=y^3;c=z^3\)
\(BĐT\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3+z^3}}+\sqrt[3]{\frac{y^3}{z^3+x^3}}+\sqrt[3]{\frac{z^3}{x^3+y^3}}\)
Ta đi chứng minh : \(\sqrt[3]{\frac{x^3}{y^3+z^3}}\ge\sqrt{\frac{x^2}{y^2+z^2}}\)
\(\Leftrightarrow y^2z^2\left[\left(y-z\right)^2+2\left(y^2+z^2\right)\right]\ge0\) ( luôn đúng )
Nếu trong 3 số x; y; z có 1 số bằng 0 thì \(VT=\sqrt[3]{\frac{y^3}{z^3}}+\sqrt[3]{\frac{z^3}{y^3}}\ge2\) theo AM - GM
Nếu cả 3 số x; y; z đều dương thì theo AM - GM ta dễ có:
\(LHS=\Sigma\sqrt{\frac{x^2}{y^2+z^2}}=\Sigma\frac{x^2}{\sqrt{x^2\left(y^2+z^2\right)}}\ge\Sigma\frac{2x^2}{x^2+y^2+z^2}=2\)
Vậy ta có đpcm
hoặc bạn có thể xem cách khác tại đây,vào TKHĐ của mình để xem hình ảnh nhé !
a) Cho a > b ; b > 0 . CMR: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}+\frac{2ab}{ab}\)
\(=\frac{\left(a^2+2ab+b^2\right)}{ab}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge0\)( luôn đúng với a >b > 0 )
Dấu "=" xảy ra khi : \(a+b=0\Leftrightarrow a=-b\)
Vậy ....
Easy làm luôn :)
a0 Ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
vì \(a>0;b>0\left(gt\right)\Rightarrow ab>0\)nên ta có:
\(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow ab.\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Vậy
Cho a,b khác 0. CMR \(\frac{a^2}{b^2}-\frac{b^2}{a^2}-1\ge2\left(\frac{a^2+b^2}{ab}\right)\)