bạn tự vẽ hinh nha

1)

Xét tam giác ABC có

hai đường cao BE và CD cắt nhau tại H nên H là trực tâm

do đó \(AH\perp BC\)

mà \(HM\perp BC\)

suy ra AH trùng với HM 

vậy A; H; M thẳng hàng

b) 

dễ chứng minh tam giác BHM đồng dạng với tam giác BCE \(\Rightarrow\frac{BH}{BC}=\frac{BM}{BE}\Rightarrow BH\cdot BE=BC\cdot BM\left(1\right)\)

dễ chứng minh tam giác CHM đồng dạng với tam giác CBD \(\Rightarrow\frac{CH}{BC}=\frac{CM}{CD}\Rightarrow CH\cdot CD=CM\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BE+CH\cdot CD=BM\cdot BC+CM\cdot BC=\left(BM+CM\right)\cdot BC=BC\cdot BC=BC^2\)

2)

a)

Xét tam giác ABC và tam giác DEC

có \(\widehat{BAC}=\widehat{CDE}\)

\(\widehat{ACB}\)chung

nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEC

\(\Rightarrow\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{CD}\left(1\right)\)

b)

Xét tam giác ABC

có AD là đường phân giác

\(\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\frac{AB}{DE}=\frac{AB}{BD}\Rightarrow DE=BD\)

a) Xét ΔABC có 

BE là đường cao ứng với cạnh AC(gt)

CD là đường cao ứng với cạnh AB(gt)

BE cắt CD tại H(gt)

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(Tính chất ba đường cao của tam giác)

Suy ra: AH\(\perp\)BC

mà HM\(\perp\)BC(gt)

và AH,HM có điểm chung là H

nên A,H,M thẳng hàng(đpcm)

b) Xét ΔBMH vuông tại M và ΔBEC vuông tại E có 

\(\widehat{EBC}\) chung

Do đó: ΔBMH\(\sim\)ΔBEC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{BM}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(BE\cdot BH=BM\cdot BC\)

Xét ΔCMH vuông tại M và ΔCDB vuông tại D có

\(\widehat{DCB}\) chung

Do đó: ΔCMH\(\sim\)ΔCDB(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{CH}{CB}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(CH\cdot CD=CM\cdot CB\)

Ta có: \(BE\cdot BH+CM\cdot CD\)

\(=BM\cdot BC+CM\cdot BC\)

\(=BC^2\)(đpcm)

#\(N\)

*Sửa đề: `CD \bot AB` chứ không phải `AD, BE` cắt đoạn `CD` tại `O` chứ không phải đoạn `BD.`

`a,` Vì Tam giác `ABC` có `AB = AC ->`\(\widehat{B}=\widehat{C}\) 

Xét Tam giác `BDC` và Tam giác `CEB` có:

`BC` chung

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) `(CMT)`

\(\widehat{BDC}=\widehat{CEB}=90^0\) 

`=>` Tam giác `BDC =` Tam giác `CEB (ch-gn)`

`-> BD = CE (2` cạnh tương ứng `)`

`b,` Xét Tam giác `ADC` và Tam giác `AEB` có:

`AB = AC (g``t)`

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADC}=90^0\)

`=>` Tam giác `ADC =` Tam giác `AEB (ch-gn)`

`=>` \(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\) `( 2` góc tương ứng `)`

Xét Tam giác `OBD` và Tam giác `OCE` có:

\(\widehat{ODB}=\widehat{OEC}=90^0\)

`BD = CE (CMT)`

\(\widehat{DBO}=\widehat{ECO}\) `(CMT)`

`=>` Tam giác `OBD =` Tam giác `OCE (g-c-g)`

`c,` *Mình sẽ bổ sung sau nha bạn .-. câu này mình bị bí á .-.

lm nốt câu c nha=))

c: 

Có `Delta OBD=Delta OCE(cmt)`

`=>OD=OE` ( `2` cạnh tương ứng ) 

Có `CD ⊥ AB(GT)=>hat(ADC)=90^0=>hat(ADO)=90^0`

`BE⊥AC(GT)=>hat(AEB)=90^0=>hat(AEO)=90^0`

Xét `Delta ADO` và `Delta AEO` có :

`hat(ADO)=hat(AEO)(=90^0)`

`AO` -chung

`DO=EO(cmt)`

`=>Delta ADO=Delta AEO(c.h-c.g.v)`

`=>AD=AE` ( hai cạnh tương ứng )

`=>Delta ADE` cân tại `A=>hat(ADE)=(180^0-hat(A))/2`

`Delta ABC` cân tại `A(AB=AC)=>hat(ABC)=(180^0-hat(A))/2`

nên `hat(ADE)=hat(ABC)`

mà `2` góc này ở vị trí đvị 

nên `DE////BC`(đpcm)

hình : 

a) ta có  EAB=\(90^0+BAC\)

              DAC=\(90^0+BAC\)

=>    EAB=DAC

XÉT     \(\Delta EAB\)VÀ \(\Delta CAD\)

             AE=AC

             AD=AB

             EAB=DAC 

\(\Rightarrow\Delta EAB=\Delta CAD\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow BE=DC\)(CẠNH TƯƠNG ỨNG)

BE=CD {cạnh tương ứng}

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC
góc HAB chung

=>ΔAHB=ΔAKC

=>AH=AK

b: Xét ΔKBC vuông tại K và ΔHCB vuông tại H có

BC chung

góc KBC=góc HCB

=>ΔKBC=ΔHCB

=>góc IBC=góc ICB

=>ΔIBC can tại I

Xét ΔABC có

BH,CK là đường cao

BH cắt CK tại I

=>I là trực tâm

=>AI vuông góc BC tại M

ΔIBC cân tại I

mà IM là đường cao

nên IM là phân giác của góc BIC

c: Xét ΔABC có AK/AB=AH/AC

nên KH//BC

Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

a: Xét tứ giác AEHD có 

\(\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó: AEHD là hình chữ nhật