1) Bài này có 2 cách giải

Cách 1:

để ý rằng \(\hept{\begin{cases}1-x^2=\left(1-x\right)\left(1+x\right)=\left(y+z\right)\left(2x+y+z\right)\\x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\end{cases}}\)

ta có: \(\frac{1-x^2}{x+yz}=\frac{a\left(b+c\right)}{bc}=\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\)

trong đó: \(a=y+z;b=z+x;c=x+y\). Tương tự, ta cũng có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{y+zx}=\frac{b}{c}+\frac{b}{a}\\\frac{1-z^2}{z+xy}=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\end{cases}}\)

Do đó sử dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT_{\left(1\right)}=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c và x=y=z=\(\frac{1}{3}\)

Cách 2:

Sử dụng BĐT AM-GM  dạng \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\), ta có:

\(x+yz\le x+\frac{\left(y+z\right)^2}{4}=x+\frac{\left(1-x\right)^2}{4}=\frac{\left(1+x\right)^2}{4}\)

Do đó: \(\frac{1-x^2}{x+yz}\ge\frac{4\left(1-x^2\right)}{\left(1+x\right)^2}=\frac{4\left(1-x\right)}{1+x}=4\left(\frac{2}{1+x}-1\right)\)

tương tự có:\(\hept{\begin{cases}\frac{1-y^2}{x+yz}\ge4\left(\frac{2}{1+y}-1\right)\\\frac{1-z^2}{z+xy}\ge4\left(\frac{2}{1+z}-1\right)\end{cases}}\)

Cộng các đánh giá trên và sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu, ta được

\(VT_{\left(1\right)}\ge8\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)-12\)

               \(\ge8\cdot\frac{9}{3+x+y+z}+12=6\)

lam thế  nao vậy?

ko hỉu

Giả thiết đã cho có thể viết lại được thành 3x²-2y²=1(1)

Từ đây, ta có x lẻ nên x²chia 8 dư 1 => 3x² chia 8 dư 3

Từ đo ta có 2y² chia 8 dư 2

=> y² chia 8 dư 1. Do đó: x²-y² chia 8 (2)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh x²-y²chia hết cho 5 (3)

Chú ý rằng số dư của a² (a thuộc Z) khi chia cho 5 là 0;1 và 4

Từ (2) và (3) với chú ý (5;8)=1 ta thu được x²-y² chia hết cho 40 (đpcm)

Với x, y là hai số dương, dễ dàng chứng minh x + y  2,

do x + y = 2  => 0 < xy ≤ 1 (1)

Ta lại có: 2xy( x2 + y2) ≤ 

=> 0 < 2xy(x2 + y2)  ≤ (x+y)4/4 = 4

=> 0 < xy( x2 + y2) ≤ 2 (2)

Nhân (1) với (2) theo vế ta có: x2y2 ( x2 + y2) ≤ 2 (đpcm)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

nếu như bn bik câu trả lời thì bn hỏi lm chi

Mình k hiểu hàng số4 á 

Ai chỉ lại giúp mình với

3: \(P=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{y}{\left(y+z\right)+\left(y+x\right)}+\dfrac{z}{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{y+x}\right)+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{z+y}\right)=\dfrac{3}{2}\).

Đẳng thức xảy ra khi x = y = x = \(\dfrac{1}{3}\).

VT = 1 + \(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{xy}\)

= 1 + \(\frac{y}{xy}\)+ \(\frac{x}{xy}\)+ \(\frac{1}{xy}\)

= 1 + \(\frac{x+y+1}{xy}\)

= 1 + \(\frac{1+1}{xy}\)

= 1 + \(\frac{2}{xy}\)

= \(\frac{xy+1}{xy}\)= 1 +\(\frac{1}{xy}\)

>hoặc= 9