cho tứ giác ABCD nội tiếp (o). Các tiếp tuyến tại A và C dồng qui với đường thẳng BD ở M. chứng minh: AB.CD=BC.AD
Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) sao cho 2 tiếp tuyến tại B,D và đường thẳng AC đồng quy (AC không đi qua O)
1) Chứng minh rằng : AB.CD = AD.BC
2) Chứng minh rằng : BD, tiếp tuyến tại A và tại C của (O) đồng quy
3) Gọi M là điểm trên AC sao cho góc AMB = góc AMD . CMR : góc MBC = góc ABD và góc MDC = góc ADB
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD
Giả sử \(\widehat{ACB}>\widehat{ACD}\) trên BD lấy điểm E sao cho \(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\)
Xét △ACD và △BCE có
\(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\)(gt)
\(\widehat{CAD}=\widehat{CBE}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{CD}\))
Suy ra △ACD \(\sim\) △BCE(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BE}\Rightarrow BC.AD=AC.BE\)(1)
Xét △ACB và △DCE có
\(\widehat{BCE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\)\(\widehat{BCE}+\widehat{ECA}=\widehat{ACD}+\widehat{ECA}\Rightarrow\widehat{ACB}=\widehat{DCE}\)
\(\widehat{CDE}=\widehat{CAB}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{BC}\))
Suy ra △ACB \(\sim\) △DCE(g-g)
\(\Rightarrow\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DE}\Rightarrow AB.CD=AC.DE\)(2)
Cộng (1) và (2)\(\Leftrightarrow AB.CD+BC.AD=AC.BE+AC.DE=AC\left(BE+CE\right)=AC.BD\)
Vậy \(AB.CD+BC.AD=AC.BD\)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) có AB = BD. Các đường thẳng AB và DC cắt nhau tại N, đường thẳng CB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại M. Chứng minh \(\widehat{AMN}=\widehat{ABD}\)
*Chứng minh AMNC là tứ giác nội tiếp.
Ta có AB=BD nên △ABD cân tại B.
\(\Rightarrow\widehat{ADB}=\widehat{BAD}\left(1\right)\)
Trong (O) có: \(\widehat{MAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AB.
\(\widehat{ADB}\) là góc nội tiếp chắn cung AB.
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{ADB}\left(2\right)\)
Tứ giác ABCD nội tiếp có \(\widehat{BCN}\) là góc ngoài ở đỉnh C.
\(\Rightarrow\widehat{BCN}=\widehat{BAD}\left(3\right)\)
(1), (2), (3) \(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{BCN}\).
\(\Rightarrow\)AMNC nội tiếp.
*Chứng minh yêu cầu đề bài.
AMNC nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ACD}\) (\(\widehat{ACD}\) là góc ngoài ở đỉnh C).
Mà \(\widehat{ACD}=\widehat{ABD}\) (ABCD nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ABD}\) (đpcm)
1. Cho đường tròn ( O) và đường thẳng xy nằm ngoài đường tròn. Từ O kẻ OA vuông góc với xy. Qua A vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) ở B và C. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt xy ở D và E. Chứng minh: A là trung điểm của DE
2. Cho tứ giác ABCD có AB = BD nội tiếp đường tròn (O) . Từ A vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt đường thẳng BC ở Q , gọi R là giao điểm của AB và CD. Chứng minh:
a) tứ giác AQRC nội tiếp được 1 đường tròn
b) QR//AD
Ta có: tỨ giác OCEA nội tiếp
=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OEA}\)(1)
Vì OC=OB
=> Tam giác OBC cân
=> \(\widehat{OCA}=\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)(2)
Tứ giác ODAB nội tiếp
=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OBC}\)( cùng bù với góc OBA) (3)
Từ (1), (2), (3)
=> \(\widehat{ODA}=\widehat{OEA}\)
=> Tam giác ODE cân có OA là đươngcao
=> OA là đường trung tuyến
=> A là trung điểm của DE
Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MB,MD với (O) (B,D là tiếp điểm ) và một cát tuyến qua M cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A,C.
a)Chứng minh AB.CD=BC.AD
b)Gọi (d) là đường thẳng qua D và song song với MB:(d) cắt BA,BC lần lượt tại I;J.
Chứng minh DI=DJ
giúp với câu b)
b, tam giác MCB ~ tam giác MBA (g.g) => BC/BA =MC/MD (vì MB=MD <= t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) (1)
tam giác MCD ~ tam giác MDA (g.g) => MC/MD= DC/AD (2)
Từ (1),(2) => BC/BA = DC/AD => BC.AD = DC.AB (đpcm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho điểm O nằm trong tứ giác ABCD và AB<CD. AC cắt BD tại E.
a) Chứng minh EA.EC=EB.ED
b) Gọi K trung điểm BC. Đường thẳng qua E và vuông góc OE cắt AD và BC lần lượt tại M,N. Chứng minh tứ giác ENKO nội tiếp
c) Chứng minh E trung điểm MN
d) Qua D kẻ đường vuông góc với AD. Đường thẳng này cắt đường thẳng vuông góc BC tại C ở F. Chứng minh E,O,F thẳng hàng
Cho tam giác giác ABC có BD và CE là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Biết BD=9cm; CE=12cm; BC=10cm.Gọi I là trung điểm của BC. Tính GI?
2/ cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, các tiếp tuyến tại A và C đồng quy với đường thẳng BD ở M. Chứng minh AB.CD=BC.AD
3/ tìm các số nguyên dương x,y để C=\(\dfrac{x^3+x}{xy-1}\)có giá trị là một số nguyên dương
Các bạn giúp mình với mình cần gấp.
Cho hình thang cân ABCD (AB>CD, AB//CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Chứng minh tứ giác AEDO nội tiếp được trong một đường tròn.
b) chứng minh AB// EM
c) đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. Chứng minh 2/HK= 1/AB +1/CD.
cho tứ giác abcd nội tiếp đt (o). cm rằng: AB.CD+BC.AD=AC.BD
gợi ý:
lúc đầu nó là 1 bdt vì nó nội tiếp nên dấu = xảy ra!
bđt ptoleme nhé bạn.
Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB
Giả sử góc ACD > góc ACB. Lấy E trên BD sao cho góc DCE = góc ACB.
Ta có : 2 tam giác ABC và DEC đồng dạng (DCE = ACB; BAC = BDC (chắn cung BC)) => \(\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{CD}\) => AB.CD = AC.DE (1)
Tương tự, ta có 2 tam giác ACD và BCE đồng dạng => AD.BC = BE.AC (2)
Từ (1) và (2) => AB.CD + AD.BC = AC.DE + BE.AC hay AB.CD + BC.AD = AC.BD