1a)

Đặt \(a^2+a+1=t\Rightarrow a^2+a+2=t+1\)

\(\Rightarrow A=t\left(t+1\right)-12=t^2+t-12=t^2-3t+4t-12=\left(t-3\right)\left(t+4\right)\)

\(=\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a+5\right)\)

Mà \(a>1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+a-2>0\\a^2+a+5>0\end{cases}}\forall a>1\)

Vậy A là hợp số

1b)

Ta có :

\(B=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\cdot...\cdot\left(2^{1006}+1\right)+1\)

\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\cdot...\cdot\left(2^{1006}+1\right)+1=....=\left(2^{1006}-1\right)\left(2^{1006}+1\right)+1\)

\(=2^{2012}-1+1=2^{2012}\)

1c)

vì đa thức chia có bậc 2 nên dư có bậc 1 dạng ax+b. Do đó

f(x)=(x2−1).q(x)+ax+b=(x−1)(x+1).q(x)+ax+b(với mọi x)

với x=1 =>a+b=1+1+1+1=4

với x=-1=>-a+b=-2

do đó a+b-a+b=4+(-2)=2

=>2b=2=>b=1

a=3

vậy đa thức dư là 3x+1

Ta có \(\left(a+1\right)\left(a+2\right)...\left(a+a\right)⋮2\)và \(3^a\)là số lẻ nên Tử số là số lẻ.

Mẫu số là số chẵn. Do đó P không thể là một số tự nhiên với mọi a khác 0.

Bài 3: y hệt bài mình đã từng đăng Câu hỏi của Thắng Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath- trước mình có ghi lời giải mà lâu ko xem giờ quên r` :)

1) Đặt n+1 = k^2

2n + 1 = m^2

Vì 2n + 1 là số lẻ => m^2 là số lẻ => m lẻ 

Đặt m = 2t+1

=> 2n+1 = m^2 = (2t+1)^2

=> 2n+1 = 41^2 + 4t + 1

=> n = 2t(t+1)

=> n là số chẵn

=> n+1 là số lẻ

=> k lẻ 

+) Vì k^2 = n+1

=> n = (k-1)(k+1)

Vì k -1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp

=> (k+1)(k-1) chia hết cho * 

=> n chia hết cho 8

+) k^2 + m^2 = 3a + 2

=> k^2 và m^2 chia 3 dư 1

=> m^2 - k^2 chia hết cho 3

m^2 - k^2 = a

=> a chia hết cho 3

Mà 3 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> a chia hết cho 24

ấy nhầm, là n chứ không phải a nha :))

Đặt \(a^2+a+1=n\left(n\ge7\right)\)

\(A=n\left(n+1\right)-12=n^2+n-12=\left(n+4\right)\left(n-3\right)\)

Do \(n\ge7\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n+4>1\\n-3>1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\) là tích của 2 số tự nhiên lớn hơn 1 nên A là hợp số

d) Ta có: \(n^2+5n+9⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n^2+3n+2n+6+3⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)+3⋮n+3\)

mà \(n\left(n+3\right)+2\left(n+3\right)⋮n+3\)

nên \(3⋮n+3\)

\(\Leftrightarrow n+3\inƯ\left(3\right)\)

\(\Leftrightarrow n+3\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{-2;-4;0;-6\right\}\)

Vậy: \(n\in\left\{-2;-4;0;-6\right\}\)

d) Ta có: n2+5n+9⋮n+3n2+5n+9⋮n+3

⇔n2+3n+2n+6+3⋮n+3⇔n2+3n+2n+6+3⋮n+3

⇔n(n+3)+2(n+3)+3⋮n+3⇔n(n+3)+2(n+3)+3⋮n+3

mà n(n+3)+2(n+3)⋮n+3n(n+3)+2(n+3)⋮n+3

nên 3⋮n+33⋮n+3

⇔n+3∈Ư(3)⇔n+3∈Ư(3)

`b)` - Ta thấy : `|x+1|+|x-2|+|x+7|>=0`

`-> 5x-10>=0`

`-> 5x>=10`

`-> x>=2`

`-> |x+1|=x+1;|x-2|=x-2;|x+7|=x+7`

- Vậy ta có :

`(x+1)+(x-2)+(x+7)=5x-10`

`<=> x+1+x-2+x+7=5x-10`

`<=> 3x+6=5x-10`

`<=> 3x-5x=-10-6`

`<=> -2x=-16`

`<=> x=8`