Tính GTNN của biểu thức M=\(x^2+y^2-xy-x+y+1\)
Những câu hỏi liên quan
Tìm GTNN của biểu thức :
M=x^2+y^2-xy-x+y+1
a> Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức: x^3 + y^3 + x^2 + y^2
b> Cho x + y + z = 3. Tìm GTLN của biểu thức xy + yz + zx
c> Tìm GTNN của biểu thức M= x^2 + 6y^2 + 14z^2 - 8yz + 6zx - 4xy
dhgxkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk
a> Cho x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức: x^3 + y^3 + x^2 + y^2
b> Cho x + y + z = 3. Tìm GTLN của biểu thức xy + yz + zx
c> Tìm GTNN của biểu thức M= x^2 + 6y^2 + 14z^2 - 8yz + 6zx - 4xy
cho x>0 y>0 và x+y=1
tìm GTNN của biểu thức M=3/xy+2/(x^2+y^2)
Cho x,y>0 ; xy = 1 . Tìm GTNN của biểu thức M = \(x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương:
\(x^2+1\geq 2x\); \(y^2+1\geq 2y\)
\(\Rightarrow M=x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}\geq 2x+2y-2+\frac{3}{x+y+1}\)
hay \(M\geq \frac{5}{3}(x+y)-\frac{7}{3}+\frac{x+y+1}{3}+\frac{3}{x+y+1}\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy:
\(\frac{x+y+1}{3}+\frac{3}{x+y+1}\geq 2\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}=2\)
Do đó: \(M\geq \frac{5}{3}.2-\frac{7}{3}+2=3\)
Vậy GTNN của $M$ là $3$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
Đúng 0
Bình luận (0)
cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn XY = 2. Tìm GTNN của biểu thức \(M=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5}{16}\left(2x+y\right)\ge2\sqrt{\dfrac{3}{16}.3}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\).
Đẳng thức xảy ra khi x = 1; y = 2.
Đúng 2
Bình luận (0)
\(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(M=\dfrac{3\left(2x+y\right)}{16}+\dfrac{3}{2x+y}+\dfrac{5\left(2x+y\right)}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(2x+y\right)}{16\left(2x+y\right)}}+\dfrac{5}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Ta có: \(M=\dfrac{2x+y}{xy}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)
Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)
Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> 2x=y và xy=2
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> x=1, y=2
Vậy GTNN của M là 11/4 <=> x=1;y=2
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho hai số dương x,y thay đổi thỏa mãn xy=2. Tìm GTNN của biểu thức M=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{2x+y}\)
Ta có:
\(M=\dfrac{2x+y}{xx}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)
\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)
Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)
Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow2x=y,xy=2\)
\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)
Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1,y=2\)
Vậy GTNN của M là \(\dfrac{11}{4}\Leftrightarrow x=1,y=2\)
Đúng 0
Bình luận (1)
1) cho x>0,y>0 thỏa mãn x+y=1.tìm GTNN của biểu thức P= 1/xy+2/x^2+y^2
2)cho x>0,y>0 và x+y=1.tìm GTNN của M=3/xy+2/x^2+y^2
3)tìm GTNN và GTLN của
N= 2x+1/x^2+2
Q= 2x^2-2x+9/x^2+2x+5
R=2(x^2+x+1)/x^2+1
cho 2 số thực x,y thỏa mãn xy=1. Tìm GTNN của biểu thức M=x2+y2+\(\dfrac{3}{x+y+1}\)
Mk sửa lại đề bài nha : x + y = 1
Ta viết lại biểu thức M dưới dạng :
M = \(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{9}{3\left(x+y+1\right)}\)
Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel vào bài toán , ta có :
\(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{9}{3\left(x+y+1\right)}\) ≥ \(\dfrac{\left(x+y+3\right)^2}{1+1+3\left(x+y+1\right)}=\dfrac{16}{8}=2\)
⇒ MMin = 2 ⇔ x = y = \(\dfrac{1}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)