Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Zenitisu

Cho hai số dương x,y thay đổi thỏa mãn xy=2. Tìm GTNN của biểu thức M=\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{2x+y}\)

gãi hộ cái đít
14 tháng 3 2021 lúc 6:56

Ta có:

\(M=\dfrac{2x+y}{xx}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\)

\(=\left(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\right)+\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\)

Có: \(\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}+\dfrac{3}{2x+y}\ge2\sqrt{\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}\dfrac{3}{2x+y}}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{3}{8}\dfrac{2x+y}{2}=\dfrac{3}{2x+y}\)

Có: \(\dfrac{5}{8}\dfrac{2x+y}{2}\ge\dfrac{5}{8}\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow2x=y,xy=2\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{11}{4}\)

Dấu '=' xảy ra \(\Leftrightarrow x=1,y=2\)

Vậy GTNN của M là \(\dfrac{11}{4}\Leftrightarrow x=1,y=2\)


Các câu hỏi tương tự
camcon
Xem chi tiết
duc anh
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Lê Bảo Nghiêm
Xem chi tiết
Khánh Phan Bá Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hằng
Xem chi tiết