Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
duc anh

cho x,y>0 thay đổi thỏa mãn xy=2. tìm GTNN của \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{2x+y}\)

Akai Haruma
12 tháng 12 2017 lúc 1:03

Lời giải:

Ta có:

\(P=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}\)

\(\Leftrightarrow P=\frac{2x+y}{xy}+\frac{3}{2x+y}=\frac{2x+y}{2}+\frac{3}{2x+y}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(2x+y\geq 2\sqrt{2xy}=2\sqrt{4}=4\)

Ta có:

\(P=\frac{2x+y}{2}+\frac{8}{2x+y}-\frac{5}{2x+y}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(\frac{2x+y}{2}+\frac{8}{2x+y}\geq 2\sqrt{4}=4\) (1)

\(2x+y\geq 4\Rightarrow \frac{5}{2x+y}\leq \frac{5}{4}\Rightarrow -\frac{5}{2x+y}\geq \frac{-5}{4}\) (2)

Từ \((1);(2)\Rightarrow P\geq 4+\frac{-5}{4}=\frac{11}{4}\)

Vậy P min \(=\frac{11}{4}\Leftrightarrow (x,y)=(1,2 )\)


Các câu hỏi tương tự
Zenitisu
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Lê Bảo Nghiêm
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết