Vì A, B, C là ba góc của tam giác nên ta có : A + B + C = π.

⇒ C = π - (A + B); A + B = π - C

a) Ta có: tan A + tan B + tan C = (tan A + tan B) + tan C

= tan (A + B). (1 – tan A.tan B) + tan C

= tan (π – C).(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C.(1 – tan A. tan B) + tan C

= -tan C + tan A. tan B. tan C + tan C

= tan A. tan B. tan C

b) sin 2A + sin 2B + sin 2C

= 2. sin (A + B). cos (A – B) + 2.sin C. cos C

= 2. sin (π – C). cos (A – B) + 2.sin C. cos (π – (A + B))

= 2.sin C. cos (A – B) - 2.sin C. cos (A + B)

= 2.sin C.[cos (A – B) - cos (A + B)]

= 2.sin C.[-2sinA. sin(- B)]

= 2.sin C. 2.sin A. sin B ( vì sin(- B)= - sinB )

= 4. sin A. sin B. sin C

\(cos2A+cos2B+cos2C=2cos\left(A+B\right).cos\left(A-B\right)+2cos^2C-1\)

\(=-2cosC.cos\left(A-B\right)+2cos^2C-1\)

\(=-2cosC\left[cos\left(A-B\right)-cosC\right]-1\)

\(=-2cosC\left[cos\left(A-B\right)+cos\left(A+B\right)\right]-1\)

\(=-4cosC.cosA.cosB-1\)

\(sin2A+sin2B+sin2C=2sin\left(A+B\right)cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)

\(=2sinC.cos\left(A-B\right)+2sinC.cosC\)

\(=2sinC\left[cos\left(A-B\right)+cosC\right]=2sinC\left[cos\left(A-B\right)-cos\left(A+B\right)\right]\)

\(=-4sinC.sinA.sin\left(-B\right)=4sinA.sinB.sinC\)

Lời giải:

Ta có:

$\sin 2A+\sin 2B=2\sin \frac{2A+2B}{2}\cos \frac{2A-2B}{2}=2\sin (A+B)\cos (A-B)$

$=2\sin (\pi -C)\cos (A-B)=2\sin C\cos (A-B) $

Do đó:

$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\sin 2C+2\sin C\cos (A-B)=2\sin C\cos C+2\sin C\cos (A-B)$

$=2\sin C[\cos C+\cos (A-B)]=2\sin C[\cos (\pi -A-B)+\cos (A-B)]$

$=2\sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)]=-2.\sin C[\cos (A+B)-\cos (A-B)]$

$=-2\sin C. (-2).\sin \frac{(A+B)+(A-B)}{2}.\sin \frac{(A+B)-(A-B)}{2}=4\sin C.\sin A.\sin B$

Ta có đpcm.

Lê Hà Phương

làm thế nào vậy