cho a,b,c \(\varepsilon\ R^+\)\(.CMR\ :\ \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}+\frac{\sqrt{c^2+a^2}}{b}\ge2\left(\frac{a}{\sqrt{b^2+c^2}}+\frac{b}{\sqrt{c^2+a^2}}+\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\)
1 Rút gọn:
a) A=\(\frac{\sqrt[]{2+\sqrt[]{3}}}{4}+\sqrt[]{\frac{2-\sqrt[]{3}}{16}}+\frac{1}{\sqrt[]{3}+\sqrt[]{2}+1}\)
b)\(\left(\sqrt[]{a+\sqrt[]{a^2-8}}\right).\left(\sqrt[]{a-2\sqrt[]{2}}-\sqrt[]{a+2\sqrt[]{2}}\right),a>=2\sqrt[]{2}\)
2.Cho x= \(\sqrt[]{2-\sqrt[]{3}}.\left(\sqrt[]{6}+\sqrt[]{2}\right)-\frac{2\sqrt[]{6}+\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{8}+1}\). Tính A= \(x^5-3x^4-3x^3+6x^2-20x+2022\)
3. Cho a,b,c >0, \(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\). CMR: \(\frac{\left(a+b\right)^3}{c^3}+\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}+\frac{\left(a+c\right)^3}{b^3}+24\)
Câu 1 ; a, Rút gọn A=\(\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}-2\sqrt{2}\sqrt{3+\sqrt{5}}}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2}}\)
b, cho \(\frac{a}{b+c}\frac{b}{a+c}\frac{c}{a+b}=1\) tính P=\(a^2+b^2+c^2+\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
Câu 2 ; a, cho các số nguyên dương a,b ,c thỏa mãn \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\) CM a+b+c chia hết cho 54
b, giải pt x2+7x +14-2\(\sqrt{x-4}\)=0
Câu 3 ; cho a,b,c >0 thỏa mãn \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge2\) CMR abc\(\ge\) 8
1.
\(A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{6+2\sqrt{5}}}}{\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{5}-4}}{\sqrt{5}-1+2}=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
b. Thôi nhìn biến đổi khủng thế này thì nhường bạn :))
2.
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng tính chẵn lẻ
\(\Rightarrow\) có ít nhất một trong 3 hiệu \(a-b\) ; \(a-c\) ; \(b-c\) là chẵn
\(\Rightarrow a+b+c\) chẵn
- Nếu a;b;c cùng số dư khi chia hết cho 3 thì \(a-b;a-c;b-c\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮27\Rightarrow a+b+c⋮27\)
Mà 27 và 2 nguyên tố cùng nhau nên \(a+b+c⋮\left(27.2=54\right)\)
- Nếu a;b;c chia 3 ra 3 loại số dư khác nhau là 0;1;2 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
Đồng thời cả \(a-b;b-c;c-a\) đều ko chia hết cho 3
\(\Rightarrow\) Không thỏa mãn \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\)
- Nếu trong 3 số a;b;c có 2 số cùng số dư khi chia hết cho 3 và 1 số chia 3 khác số dư
\(\Rightarrow\) \(a+b+c⋮̸3\)
Trong khi đó ít nhất 1 trong 3 hiệu \(a-b;b-c;c-a\) sẽ có 1 giá trị chia hết cho 3 (do có 2 số cùng số dư khi chia 3)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\) ko thỏa mãn
Vậy \(a+b+c⋮54\)
2b
Câu này đề có sai ko bạn? Trong căn là \(2\sqrt{x+4}\) thì còn có lý
Pt như nguyên mẫu được biến đổi thành:
\(\left(x^2+6x+9\right)+\left(x-4-2\sqrt{x-4}+1\right)+8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{x-4}-1\right)^2+8=0\)
Hiển nhiên vô nghiệm
3.
\(\frac{a}{a+1}\ge1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\) ; \(\frac{c}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Nhân vế với vế: \(\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
\(\Rightarrow abc\ge8\)
Cho a;b;c >0 thỏa mãn a+b+c=5 và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). CMR:
\(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
cho 4 số thực a,b,c,d tm a+b+c+d=4
cmr \(\frac{\left(a+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{\left(b+\sqrt{c}\right)^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{\left(c+\sqrt{d}\right)^2}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{\left(d+\sqrt{a}\right)^2}{\sqrt{d^2-ad+a^2}}\le16\)
1.Chứng minh \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{x^2+xz+z^2}\ge\sqrt{y^2+yz+z^2}\)
2. Cho a,b,c>0. Chứng minh \(\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\left(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\right)-\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}\le6\)
3. Cho a,b>0 , n là số nguyên dương. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt[n]{a}}+\frac{1}{\sqrt[n]{b}}\ge2\sqrt[n]{\frac{2}{a+b}}\)
4. Cho a,b,c >0. Chứng minh \(\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ca}+\frac{1}{c^2+ba}\le\frac{a+b+c}{2abc}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2019}\)
CMR: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\sqrt{\frac{2019}{8}}\)
\(VT\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2019}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{y^2+z^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2}{z}-\left(x+y+z\right)\)
\(2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{2y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\)
\(2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{4\left(x+y+z\right)^2}{2x+2y+2z}-\left(x+y+z\right)=x+y+z=\sqrt{2019}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\sqrt{2019}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{2019}{8}}\) (đpcm)
1) GPT: (6x+5)2(3x+2)(x+1)=35
2) cho 3 số dương a,b,c thỏa a+b+c=1.
c/minh: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+6\ge2\sqrt{2}\left(\sqrt{\frac{1-a}{a}}+\sqrt{\frac{1-b}{b}}+\sqrt{\frac{1-c}{c}}\right)\)
\(PT\Leftrightarrow\left(\left(3x+2\right)+\left(3x+3\right)\right)^2\left(3x+2\right)\left(3x+3\right)=105\)
Đặt 3x+2=a suy ra\(\left(2a+1\right)^2a\left(a+1\right)=105\)
Đến đây giải bt,tìm đc a =>x.(tick nha)
Cho \(a,b,c\in R\).Chứng minh: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\sqrt{2}}{4}\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)\)
Cho a b c là các số thực dương thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=5\\\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\end{matrix}\right.\)
CMR :\(\frac{\sqrt{a}}{a+2}+\frac{\sqrt{b}}{b+2}+\frac{\sqrt{c}}{c+2}=\frac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
Cho dễ nhìn thì \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(x+y+z=3\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=9\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2\)
\(VT=\sum\frac{x}{x^2+2}=\sum\frac{x}{x^2+xy+yz+zx}=\sum\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(=\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{2\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{4}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(VP=\frac{4}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(z+x\right)}}=\frac{4}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=VT\) (đpcm)