Lời giải:
Gọi dư khi chia $f(x)$ cho $(x-1)(x+2)$ là $ax+b$ (dư phải có bậc nhỏ hơn đa thức chia) 

Khi đó:
$f(x)=5x^2(x-1)(x+2)+ax+b$

Ta có:
$f(1)=a+b=4\Rightarrow a=4-b$

$f(-2)=-2a+b=1$

Thay $a=4-b$ thì: $-2(4-b)+b=1$

$\Rightarrow -8+2b+b=1$

$\Rightarrow 3b=9\Rightarrow b=3$

$a=4-b=4-3=1$

Vậy $f(x)=5x^2(x-1)(x+2)+x+3$

Gọi thương của phép chia đa thức \(f\left(x\right)\)cho \(x-1\)và cho \(x+2\), theo thứ tự là \(A\left(x\right),B\left(x\right)\)và dư theo thứ tự là  \(4\) và  \(1\)

Ta có:

\(f\left(x\right)=\left(x-1\right).A\left(x\right)+4\)

nên \(\left(x+2\right)f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right).A\left(x\right)+4\left(x+2\right)\) \(\left(1\right)\)

\(f\left(x\right)=\left(x+2\right).B\left(x\right)+1\) 

nên \(\left(x-1\right)f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-1\right).B\left(x\right)+1\left(x-1\right)\) \(\left(2\right)\)

Lấy \(\left(1\right)\)trừ \(\left(2\right)\) vế theo vế, ta có:

\(\left[\left(x+2\right)-\left(x-1\right)\right]f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left[A\left(x\right)-B\left(x\right)+4\left(x+2\right)-1\left(x-1\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow3f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left[A\left(x\right)-B\left(x\right)\right]+3x+9\)

Do đó: \(f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\frac{A\left(x\right)-B\left(x\right)}{3}+\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=5x^2\left(x-1\right)\left(x+2\right)+\left(x+3\right)\)

trong đó, bậc của \(x+3\) nhỏ hơn bậc của \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

Vậy, dư của phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)là  \(x+3\)

Gọi thương của phép chia đa thức cho và cho , theo thứ tự là và dư theo thứ tự là   và  

Ta có:

nên  

nên  

Lấy trừ  vế theo vế, ta có:

Do đó: 

Lời giải:

Từ điều kiện số 3 ta có thể viết $f(x)$ dưới dạng:

\(f(x)=(x^2-5x+4)(x+1)+ax+b\) trong đó $ax+b$ là đa thức dư.

Ta có:

\(f(1)=(1-5+4)(1+1)+a+b=4\)

\(\Leftrightarrow 0+a+b=4\Leftrightarrow a+b=4(1)\)

$f(x)$ chia hết cho $x-3$ nên \(f(3)=0\)

\(\Leftrightarrow (3^2-5.3+4)(3+1)+3a+b=0\)

\(\Leftrightarrow -8+3a+b=0\Leftrightarrow 3a+b=8(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow a=b=2\)

Do đó:

\(f(x)=(x^2-5x+4)(x+1)+2x+2=x^3-4x^2+x+6\)

Gọi thương của phép chia  f(x)  cho  x-2  là  A(x);      cho   x-3   là   B(x)

Ta có:    f(x)   =   (x-2).A(x)   +   5

             f(x)   =  (x-3).B(x)  +  7

Ap dụng định lý Bơ-du ta có:

           f(2) = 5

           f(3) = 7

Gọi dư của phép chia  f(x) cho (x-2)(x-3) là  ax+b

Ta có:

            f(x)  =  (x-2)(x-3).(x²-1)  +  ax + b

\(\Rightarrow\)f(2) = 2a + b  =  5

        f(3)  =  3a  +  b  =7

\(\Rightarrow\)a = 2;    b = 1

vậy  f(x) = (x-2)(x-3)(x² - 1) + 2x + 1

             = x⁴ - 5x³ + 5x² + 7x - 5

cho mình hỏi tại sao dư của f(x) cho (x-2)(x-3) lại phải là ax+b mà không phải cái khác vậy bạn

\(\left(x-2\right)\left(x-3\right)=x^2-5x+6\)    là đa thức bậc 2

=>   số dư trong phép chia f(x) chờ (x-2)(x-3) phải là đa thức bậc nhất

nên số dư đó có dạng:  ax + b

Khi f( x) : ( x - 2 ) ( x - 3) thì còn đa thức dư vì ( x - 2 ) ( x - 3 ) có bậc cao nhất là 2 

=> đa thức dư có bậc cao nhất là 1 

=> G/s: đa thức dư là: r(x) = a x + b 

Ta có: f ( x ) = ( x - 2 )( x - 3 ) ( x^2 + 1 ) + ax + b 

Vì f ( x ) chia ( x - 2 ) dư 2016 

=> f ( 2 ) = 2016   => a.2 + b = 2016 (1) 

Vì f(x ) chia ( x - 3 ) dư 2017 

=> f ( 3) = 2017 => a.3 + b  = 2017 (2) 

Từ (1) ; (2) => a = 1; b = 2014 

=> Đa thức f(x) = ( x - 2 )( x - 3 ) ( x^2 + 1 ) + x + 2014

và đa thức dư là: x + 2014