Giải bằng bất đẳng thức Cô si: (ĐK: \(x^2-x+1\ge0;-2x^2+x+2\ge0;x^2-4x+7\)
Ta có: \(x^2-x+1+1\ge2\sqrt{x^2-x+1}\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x+1}\le\dfrac{x^2-x+2}{2}\left(1\right)\\ T,T:\sqrt{-2x^2+x+2}\le\dfrac{-2x^2+x+3}{2}\left(2\right)\\ \left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{-2x^2+x+2}\le\dfrac{x^2-x+2-2x^2+x+3}{2}=\dfrac{-x^2+5}{2}\\ \Rightarrow\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{-2x^2+x+2}-\dfrac{x^2-4x+7}{2}\le\dfrac{-x^2+5-x^2+4x-7}{2}\\ =\dfrac{-2x^2+4x-2}{2}\\ =-x^2+2x-1 \\ \Rightarrow-\left(x-1\right)^2\ge0\)
Điều này chỉ thỏa 1 điều kiên khi x-1=0 ⇔x=1(nhận
Vậy x=1 là nghiệm cuả phương trình

Điều kiện xác định phương trình \(x\ge\frac{1}{4}\).

Nhân cả hai vế với \(\sqrt{2}\) phương trình tương đương với

\(\sqrt{4x-2\sqrt{4x-1}}-\sqrt{4x+2\sqrt{4x-1}=4}\leftrightarrow\left|\sqrt{4x-1}-1\right|-\left|\sqrt{4x-1}+1\right|=4\)

\(\leftrightarrow\left|\sqrt{4x-1}-1\right|-\sqrt{4x-1}=5\).

Trường hợp 1. NẾU \(x\ge\frac{1}{2}\to\sqrt{4x-1}-1-\sqrt{4x-1}=5\to\) loại

Trường hợp 2. NẾU \(\frac{1}{4}\le x

ĐKXĐ \(3x^2-5x+1\ge0;x^2-2\ge0;x^2-x-1\ge0\)

Ta có : \(\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{x^2-2}=\sqrt{3.\left(x^2-x-1\right)}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3x^2-5x+1}-\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}=\sqrt{x^2-2}-\sqrt{x^2-3x+4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x^2-5x+1-3.\left(x^2-x-1\right)}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=\dfrac{x^2-2-x^2+3x-4}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x+4}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=\dfrac{3x-6}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\\dfrac{3}{\sqrt{x^2-2}+\sqrt{x^2-3x+4}}+\dfrac{2}{\sqrt{3x^2-5x+1}+\sqrt{3\left(x^2-x-1\right)}}=0\left(∗\right)\end{matrix}\right.\)

Xét phương trình (*) ta có VT > 0 \(\forall x\) mà VP = 0

nên (*) vô nghiệm

Vậy x = 2 là nghiệm phương trình 

ĐKXĐ : \(x\ge5\)

Ta có \(x-3\sqrt{x}+4=2\sqrt{x-5}\)

\(\Leftrightarrow x-3\sqrt{x}=2\left(\sqrt{x-5}-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)=2.\dfrac{x-9}{\sqrt{x-5}+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-3\right)=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-3\right).\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3=0\\\sqrt{x}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\end{matrix}\right.\)

Với \(\sqrt{x}-3=0\Leftrightarrow x=9\left(tm\right)\)

Với \(\sqrt{x}=\dfrac{2.\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x-5}+2}\Leftrightarrow\sqrt{x}.\sqrt{x-5}=6\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x-36=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=9\left(tm\right)\\x=-4\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm \(S=\left\{9\right\}\)

Đặt \(t=\sqrt{10-x}+\sqrt{x-7}\) để làm gì vậy bạn? Đặt như vậy thì phương trình sẽ càng khó giải hơn á

Đk: \(-7\le x\le10\)

\(\sqrt{10-x}-\sqrt{x+7}+\sqrt{-x^2+3x+70}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{10-x}-\sqrt{x+7}+\sqrt{\left(10-x\right)\left(x+7\right)}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{10-x}\left(\sqrt{x+7}+1\right)-\left(\sqrt{x+7} +1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+7}+1\right)\left(\sqrt{10-x}-1\right)=0\)

Dễ thấy \(\sqrt{x+7}+1>0\). Do đó:

\(\sqrt{10-x}-1=0\Leftrightarrow x=9\left(nhận\right)\)

Thử lại ta có x=9 là nghiệm duy nhất của pt đã cho.

`\sqrt{10-x}-\sqrt{x+7}+\sqrt{-x^2+3x+70}=1`     `ĐK: -7 <= x <= 10`

Đặt `\sqrt{10-x}-\sqrt{x+7}=t`

`<=>10-x+x+7-2\sqrt{(x+7)(10-x)}=t^2`

`<=>\sqrt{-x^2+3x+70}=17/2-[t^2]/2`

Khi đó ptr `(1)` có dạng: `t+17/2-[t^2]/2=1`

`<=>2t+17-t^2=2`

`<=>t^2-2t-15=0`

`<=>[(t=5),(t=-3):}`

`@t=5=>\sqrt{-x^2+3x+70}=17/2-5^2/2`

  `<=>\sqrt{-x^2+3x+70}=-4` (Vô lí)

`@t=-3=>\sqrt{-x^2+3x+70}=17/2-[(-3)^2]/2`

  `<=>-x^2+3x+70=16`

  `<=>[(x=9),(x=-6):}` (t/m)

Vậy `S={-6;9}`

Thắng Chó Râm tặc

\(\Leftrightarrow x^2-4x+13-\sqrt{x^2-4x+13}-6=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+13}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2-t-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-2< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-4x+13}=3\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+13=9\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow x=2\)