Trên tia đối của MA lấy K sao cho AM=MK

Xét tam giác ABM và tam giác KCM có

BM=MC(gt)

AM=MK(gt)

góc AMB= góc CMK( đối đỉnh)

=> tam giác ABM= tam giác KCM( c-g-c)

=> AB=KC

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có

AK <AC+CK

<=> 2AM<AC+AB

=> AM< (AC+AB)/2

Xét \(\Delta ABM\)

\(AB+BM>AM\)( bất đảng thứ tam giác )

Xét \(\Delta ACM\)

\(AC+CM>AM\) ( bất đẳng thứ tam giác )

\(\Rightarrow AB+BM+AC+CM>AM+AM\)

\(\Rightarrow AB+AC+BC>2BM\)

\(\Rightarrow\frac{AB+AC+BC}{2}>AM\)

\(\Rightarrow\frac{AB+AC}{2}>AM\)

thanks chị nhìu

a)

AI là đường vuông góc kẻ từ A xuống đoạn thẳng BC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI < AB\\AI < AC\end{array} \right.\\ \Rightarrow 2AI < AB + AC\\ \Rightarrow AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\end{array}\) (đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên)

b)

Lấy D sao cho M là trung điểm của AD

Xét \(\Delta ABM\) và \(DCM\) có

AM = DM ( do M là trung điểm của AD)

BM = CM ( do M là trung điểm của BC)

\(\widehat {AMB} = \widehat {CMD}\)( 2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta DCM\left( {c - g - c} \right)\)

\( \Rightarrow AB = CD\)(2 cạnh tương ứng)

Xét  \(\Delta ADC\) ta có: AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác)

\( \Rightarrow \)   2AM < AC + AB

\( \Rightarrow \)   AM < \(\dfrac{1}{2}\)(AB + AC) 

Câu hỏi của Bèo Bánh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo tại link này!

a)Xét tam giác APM có: AM < AP + PM (tổng 2 cạnh của 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại) 

Xét tam giác ANM có: AM < AN + NM (tổng 2 cạnh của 1 tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại) 

=> 2AM < AP + PM + AN +NM (cộng vế với vế) (1) 

Lại có: AP = MN (t/c đường trung bình của tam giác ABC) (2) 

PM = AN (t/c đường trung bình của tam giác ABC) (3) 

Từ (1),(2),(3) => 2AM < 2AP + 2AN 

<=> 2AM < AB + AC (Do CP và BN là đường trung tuyến của tam giác ABC) 

<=> AM < 1/2 (AB+AC) (chia cả hai vế cho 2) 

b) 
* CM tương tự: 

-BN < 1/2 (AB+AC) 

-CP < 1/2 (AC+CB) 

AM < 1/2 (AB+AC) 

=> AM + BN + CP < 1/2 (AB+AC+AB+BC+AC+BC) 

<=>AM + BN + CP < AB+AC+BC (3) 
 

* Có: BG+GC > BC (Xét tam giác BGC) 

- GC+AG > AC (Xét tam giác CGA) 

- AG+BG > AB (Xét tam giác AGB) 

=> 2GB+2GC+2GA > AB+AC+BC 

<=>2.2/3BN + 2.2/3PC + 2.2/3AM > AB+AC+BC (t/c đường trung tuyến trong tam giác ABC) 

<=>4/3 (BN + PC + AM) > AB+AC+BC 

<=>BN+PC+AM > 3/4( AB+AC+BC ) (nhân cả hai vế với 3/4) (4) 

Từ (3),(4) => 3/4(AB+AC+BC) < AM+BN+CP < AB+AC+BC

♥Tomato♥

bài 2:

ta có : điểm M nằm trên đường trung trực của BC nên M sẽ cách đều B và C => MB=MC

Ta có: AC=AM+MC

=> AC=AM+MB

Bài 2: Tam giác BNC cân tại N vì đường thẳng hạ từ N xuống vuong góc cạnh đối diện cũng là trung tuyến nên BN=NC

=> AN+BN=AN+NC=AC 

Mình giải được câu a thôi

\(\Delta ABM,\Delta AMC\)có đáy BM = MC (AM là trung tuyến) ; chung đường cao AH nên có diện tích bằng nhau (1)

\(\Delta KBM,\Delta KMC\)có đáy BM = MC ; chung đường cao KI nên \(S_{\Delta KBM}=S_{\Delta KMC}=\frac{1}{2}S_{\Delta KBC}\left(2\right)\)

\(\Delta BKM,\Delta ABK\)có đáy \(KM=2AK\)(do \(\frac{AK}{AM}=\frac{1}{3}\)) ; chung đường cao BL nên \(S_{\Delta BKM}=2S_{\Delta ABK}\left(3\right)\)

Từ (2) và (3),ta có \(S_{\Delta BKC}=4S_{\Delta ABK}\left(4\right)\)mà\(\Delta BKC,\Delta ABK\)có chung đáy BK nên có đường cao CP = 4AO

\(\Delta KNC,\Delta AKN\)có chung đáy KN ; đường cao CP = 4AO nên \(S_{\Delta KNC}=4S_{\Delta AKN}\left(5\right)\Rightarrow S_{\Delta AKC}=5S_{\Delta AKN}\left(6\right)\)

Từ (4) và (5),ta có \(S_{\Delta BKC}+S_{\Delta KNC}=4S_{\Delta ABK}+4S_{\Delta AKN}\)hay \(S_{\Delta BNC}=4S_{\Delta ABN}\)\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=5S_{\Delta ABN}\left(7\right)\)

Từ (1) và (2),ta có \(S_{\Delta ABM}-S_{\Delta BKM}=S_{\Delta AMC}-S_{\Delta KMC}\)hay \(S_{\Delta ABK}=S_{\Delta AKC}\).Kết hợp với (6),ta có :

\(S_{\Delta ABK}=5S_{\Delta AKN}\Rightarrow S_{\Delta ABN}=6S_{\Delta AKN}\).Kết hợp với (7),ta có \(S_{\Delta AKN}=\frac{1}{30}S_{\Delta ABC}\)

cảm ơn bạn nhiều nhé.

 Qua M kẻ đường thẳng song song với IJ cắt AB, AC lần lượt tại N và P .

Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt NP tại D 

\(\Delta ANM\)có IK // MN nên \(\frac{AN}{AI}=\frac{AM}{AK}=3\)( TALET) ; \(\Delta AMP\)có KJ // MP nên \(\frac{AP}{AJ}=\frac{AM}{AK}=3\)

 \(\Rightarrow\frac{AN}{AI}+\frac{AP}{AJ}=3+3=6\Leftrightarrow\frac{AB-BN}{AI}+\frac{AC+CP}{AJ}=6\)

  \(\Leftrightarrow\frac{AB}{AI}-\frac{BN}{AI}+\frac{AC}{AJ}+\frac{CP}{AJ}=6\)TA CÓ \(\Delta BMN=\Delta CMD\left(g.c.g\right)\Rightarrow BN=CD\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AI}-\frac{CD}{AI}+\frac{AC}{AJ}+\frac{CP}{AJ}=6\)MÀ \(\Delta AIJ\)đồng dạng \(\Delta CDP\)(G.G) \(\Rightarrow\frac{CD}{AI}=\frac{CP}{AJ}\Rightarrow\frac{CD}{AI}-\frac{CP}{AJ}=0\)\(\Rightarrow\frac{AB}{AI}+\frac{AC}{AJ}+0=6\Leftrightarrow\frac{AB}{AI}+\frac{AC}{AJ}=6\left(đpcm\right)\)