Cach tuong tu 

AM-GM \(2+2yz=x^2+y^2+z^2+2yz=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2x\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow1+yz\ge x\left(y+z\right)\Rightarrow x^2+x+yz+1\ge x\left(x+y+z+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+x+yz+1}\le\frac{x}{x+y+z+1}\). Se cm \(x+y+z-xyz\le2\), that vay ap dung C-S 

\(x+y+z-xyz=x\left(1-yz\right)+\left(y+z\right)\)\(\le\sqrt{\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-yz\right)^2+1\right]}\)

\(=\sqrt{2\left(1+yz\right)\left[\left(yz\right)^2-2yz+2\right]}=\sqrt{y^2z^2\left(yz-1\right)+4}\le2\)

\(\Rightarrow M\le\frac{x}{x+y+z+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{x+y+z+1}=1\)

Dau "=" xay ra khi x=y=1; z=0

mình mới học lớp 7 mí hihi

Câu 2:  Đặt 

\(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{\frac{3}{2}}x\\b=\sqrt{\frac{3}{2}}y\\c=\sqrt{\frac{3}{2}}z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{\frac{2}{3}}a\\y=\sqrt{\frac{2}{3}}b\\z=\sqrt{\frac{2}{c}}c\end{cases}\Rightarrow}\text{ }a,b,c>0;}\text{ }\text{ }a^2+b^2+c^2=3\)

Xét diện tích tam giác ABC:

\(S_{ABC}=\frac{AM.BC}{2}=\frac{CP.AB}{2}=\frac{BN.AC}{2}\)

=> \(AM.BC=CP.AB=BN.AC\)

=> \(AM=\frac{CP.AB}{BC}\); \(BN=\frac{CP.AB}{AC}\)

Theo gt, ta có:

\(BC+AM=AB+CP\)

\(\Leftrightarrow BC+\frac{CP.AB}{BC}=AB+CP\)

\(\frac{\Leftrightarrow CP.AB}{BC}-AB=CP-BC\)

\(\frac{\Leftrightarrow\left(CP.AB-AB.BC\right)}{BC}=\frac{\left(CP.BC-BC^2\right)}{BC}\)

\(\frac{\Leftrightarrow AB.\left(CP-BC\right)}{BC}=\frac{BC.\left(CP-BC\right)}{BC}\)

\(\Rightarrow AB=BC\)(1)

Theo gt, ta lại có:

\(AC+BN=AB+CP\)

\(\Leftrightarrow AC+\frac{AB.PC}{AC}=AB+CP\)

\(\frac{\Leftrightarrow AB.PC}{AC}-AB=PC-AC\)

\(\frac{\Leftrightarrow\left(AB.PC-AB.AC\right)}{AC}=\frac{\left(CP.AC-AC^2\right)}{AC}\)

\(\frac{\Leftrightarrow AB.\left(PC-AC\right)}{AC}=\frac{AC.\left(CP-AC\right)}{AC}\)

\(\Rightarrow AB=AC\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AB=BC=AC\)

=> ĐPCM

albaba nguyễn làm bài này cái !

AB=BC=AC suy ra ĐPCM

bài 3

Gọi giao điểm của EM với AC là K' ( K' \(\in\)AC )

Ta sẽ chứng minh K' \(\equiv\)K 

Thật vậy, gọi giao điểm AC và MN là O ; K'N cắt DC tại I 

dễ thấy O là trung điểm MN

do MN // EI \(\Rightarrow\frac{MO}{EC}=\frac{K'O}{K'C}=\frac{ON}{CI}\)\(\Rightarrow EC=CI\)

\(\Delta NEI\)có NC là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại N

\(\Rightarrow\)NC là đường phân giác của \(\widehat{ENI}\)

Mà \(\widehat{K'NE}+\widehat{ENI}=180^o\) có \(NM\perp NC\)nên NM là  đường phân giác \(\widehat{K'NE}\)( 1 )

mặt khác : NM là đường phân giác \(\widehat{KNE}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(K'\equiv K\)hay A,K,C thẳng hàng

Trên tia đối tia HC lấy D sao cho HD = HC

Tứ giác DECF có DH = HC ; EH = HF nên là hình bình hành

\(\Rightarrow\)DE // CF 

\(\Rightarrow\)DE \(\perp\)CH ; BE \(\perp\)DH

\(\Rightarrow\)E là trực tâm tam giác DBH \(\Rightarrow HE\perp BD\)

Xét \(\Delta DBC\)có DH = HC ; BM = MC nên MH là đường trung bình 

\(\Rightarrow\)MH // BD

\(\Rightarrow\)MH \(\perp EF\)

bài 5 :

gọi L là giao điểm của CI và NK

từ \(S_{ANI}=S_{IJK}\) \(\Rightarrow S_{ANI}+S_{AIJ}=S_{IJK}+S_{AIJ}\Rightarrow S_{NAJ}=S_{KAJ}\)

Ta nhận thấy \(\Delta NAJ\)và \(\Delta KAJ\)có chung cạnh AJ nên khoảng cách từ N và K tới AJ bằng nhau 

\(\Rightarrow NK//AJ\)

xét hình thang AJKN có C là giao điểm của AN và JK, I là giao điểm của AK và JN 

theo bổ đề hình thang, CI cắt NK tại trung điểm của NK hay L là trung điểm của NK

Suy ra khoảng cách từ N đến CI bằng khoảng cách từ K đến CI ( cái này bạn tự c/m bằng cách hạ đường cao xuống xong xét tam giác )

\(\Rightarrow S_{CIN}=S_{CIK}\) 

Mà \(S_{AIN}=S_{CKM}\)\(\Rightarrow S_{CIM}=S_{CIA}\Rightarrow AI=IM\) 

\(\Rightarrow S_{BIA}=S_{BIM}\)

\(\Leftrightarrow S_{BPJ}+S_{APJI}=S_{IJK}+S_{BJKM}\Leftrightarrow S_{APJI}=S_{BJKM}\)

tương tự : ....

xong rồi suy ra 3 tam giác bằng nhau