Cho a,b,c là ba số thực khác 0 thỏa mãn
\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)=0\)
\(a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\)
Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn: \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}-\frac{a^2+b^3+c^3}{abc}=2\)
Tính giá trị của biểu thức \(A=\left(\left(a+b\right)^{2013}-c^{2013}\right)\left(\left(b+c\right)^{2013}-a^{2013}\right)\left(\left(c+a\right)^{2013}-b^{2013}\right)\)
Cho a,b,c là 3 số thực khác không thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)+2abc=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{cases}}\)
Hãy tính giá trị của biểu thức: \(Q=\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
\(a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)+2abc=0\)
=>\(\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)
=>a=-b hoặc a=-c hoặc b=-c (1)
=>a=1 hoăc b=1 hoặc c=1 (2)
từ 1 và 2 => Q=1
Cho a,b,c là 3 số thực khác 0 và thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)+2abc=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{matrix}\right.\)
Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= \(\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
gt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b\left(a^2+2ac+c^2\right)+ac\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+c\right)\left[b\left(a+c\right)+ac+b^2\right]=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a+b=0\Rightarrow a^{2013}+b^{2013}=0\\b+c=0\Rightarrow b^{2013}+c^{2013}=0\\a+c=0\Rightarrow a^{2013}+c^{2013}=0\end{matrix}\right.\\a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow Q=1\)
Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\). Tính giá trị của biểu thức:
\(P=\frac{17}{25}+\left(a^{2013}+b^{2013}\right)\left(b^{2013}+c^{2013}\right)\left(c^{2013}+a^{2013}\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{ab+bc+ca+c^2}{abc\left(a+b+c\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^{2013}+b^{2013}\right)\left(b^{2013}+c^{2013}\right)\left(c^{2013}+a^{2013}\right)=0\)
\(\Rightarrow P=\frac{17}{25}\)
Cho a,b,c là các số khác 0 thỏa mãn: \(\sqrt{a+b+c-2013}+\sqrt{2013\left(ab+bc+ca\right)-abc}=0\)
Tính \(P=\frac{1}{a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}}\)
suy ra a+b +c -2013 = 0 và 2013(ab+bc+ca) -abc =0
suy ra: a+ b +c =2013 và 2013 .(ab +bc +ca )= abc
suy ra: c =2013- (a+ b ) và 1/a + 1/b +1/c = 1/2013 (2)
thay c =2013- (a+ b ) vào ( 2), biến đổi ta tìm đc: ab = 2013(a+b) -20132. Tương tự ta có: bc = 2013(c+b) -20132.
và ac = 2013(c+a) -20132. . Cộng lại ta có: ab +bc + ca = 2013. 2. (a+b+c) -3.20132=-20132
suy ra: abc = -20133. Từ đó ta tính được hai trong ba số a,b,c bằng 2013 và số còn lại = -2013
P = 1/20132013
Cho a,b khác không và đôi một khác nhau thỏa mãn
\(a^2\left(b+c\right)=b^2\left(a+c\right)=2013\)
Tính giá trị H=\(c^2\left(a+b\right)\)
tìm link: https://olm.vn/hoi-dap/detail/52335434716.html
Bài 1. a) Cho a là một số tự nhiên và a>1. cmr: \(A=\left(a^2+a+1\right)\left(a^2+a+2\right)-12\)là hợp số
b) Tính \(B=\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)...\left(2^{1006}+1\right)+1\)
c) Tìm dư khi chia \(x+x^3+x^9+x^{27}\)cho \(x^2-1\)
Bài 2. a) cho abc=1. Rút gọn biểu thức \(M=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
b) Cho a+b+c \(\ne\)0 và \(a^3+b^3+c^3=3abc\). Tính \(N=\frac{a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}}{\left(a+b+c\right)^{2013}}\)
Cầu giúp đỡ
1a)
Đặt \(a^2+a+1=t\Rightarrow a^2+a+2=t+1\)
\(\Rightarrow A=t\left(t+1\right)-12=t^2+t-12=t^2-3t+4t-12=\left(t-3\right)\left(t+4\right)\)
\(=\left(a^2+a-2\right)\left(a^2+a+5\right)\)
Mà \(a>1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+a-2>0\\a^2+a+5>0\end{cases}}\forall a>1\)
Vậy A là hợp số
1b)
Ta có :
\(B=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\cdot...\cdot\left(2^{1006}+1\right)+1\)
\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\cdot...\cdot\left(2^{1006}+1\right)+1=....=\left(2^{1006}-1\right)\left(2^{1006}+1\right)+1\)
\(=2^{2012}-1+1=2^{2012}\)
1c)
vì đa thức chia có bậc 2 nên dư có bậc 1 dạng ax+b. Do đó
f(x)=(x2−1).q(x)+ax+b=(x−1)(x+1).q(x)+ax+b(với mọi x)
với x=1 =>a+b=1+1+1+1=4
với x=-1=>-a+b=-2
do đó a+b-a+b=4+(-2)=2
=>2b=2=>b=1
a=3
vậy đa thức dư là 3x+1
Cho a,b,c thỏa mãn \(a\left(b+c\right)^2+b\left(c+a\right)^2+c\left(a+b\right)^2=4abc\) và \(a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\)
Tính giả trị biểu thức \(M=\dfrac{1}{a^{2015}}+\dfrac{1}{b^{2015}}+\dfrac{1}{c^{2015}}\)
Ta có:
\(a\left(b+c\right)^2+b\left(c+a\right)^2+c\left(a+b\right)^2=4abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac\right)\left(b+c\right)+b\left(c^2+2ac+a^2\right)+c\left(a^2+2ab+b^2\right)=4abc\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac\right)+bc^2+2abc+ba^2+ca^2+2abc+cb^2-4abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac\right)+\left(bc^2+cb^2\right)+\left(ba^2+ca^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac\right)+bc\left(b+c\right)+a^2\left(b+c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(ab+ac+bc+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left[b\left(c+a\right)+a\left(a+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b+c=0\\a+b=0\\c+a=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=-c\\a=-b\\c=-a\end{matrix}\right.\)
Ta lại có:
\(a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}=1\)
Với : \(b=-c\Leftrightarrow a^{2013}-c^{2013}+c^{2013}=1\Leftrightarrow a=1\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^{2015}}+\dfrac{1}{b^{2015}}+\dfrac{1}{c^{2015}}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{-1}{c^{2015}}+\dfrac{1}{c^{2015}}=1\)
Mà do \(a,b,c\) bình đẳng nên với trường hợp nào đều là \(M=1\)
Cho a,b,c là ba số thực đôi một khác nhau thỏa mãn hệ thức:\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\).
Chứng minh rằng: \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)