VÌ 16 \(\div\)15 DƯ 1 \(\Rightarrow\)\(16^N\div15DƯ1\)

\(\Rightarrow16^n-1⋮15\)MÀ 15 \(⋮\) 15 \(\Rightarrow\)15N \(⋮\)15

\(\Rightarrow\)\(16^n-1-15n⋮15\)

HAY 

hay \(16^n-15n-1⋮15\)

ta có:\(16^n\equiv1mod\left(15\right)\)

\(15n\equiv0mod\left(15\right)\)

\(1\equiv1mod\left(15\right)\)

=> \(16^n-15n-1\equiv1-0-1mod\left(15\right)\equiv0mod\left(15\right)\)

=>\(16^n-15n-1⋮15\)

Điều phải CM đúng với n = 1 , khi đó , ta có :

16¹ - 15.1 - 1 = 0 ⋮225

Gỉa sử điều phải CM đúng với : n = k , ta có :

16^k - 15.k - 1 ⋮225

Ta CMR điều phải CM cũng đúng với n = k + 1 , Ta có :

16^k+1 - 15( k + 1) - 1

= 16.16^k - 15k - 15 - 1 = ( 16^k - 15k - 1) + 15.16^k - 15

( Vì 16.16^k = ( 15 + 1)16^k = 16^k + 15.16^k )

Theo giả thiết trên thì : 16^k - 15^k - 1 ⋮ 225

Còn : 15.16^k - 15 = 15( 16^k - 1)

Mà : 16^k - 1 ⋮( 16 - 1)

⇒15( 16^k - 1) ⋮ 15.15 = 225

⇒ đpcm

Giải:

Với n=1 thì 16ⁿ – 15n – 1 = 16 – 15 – 1 = 0 ⋮ 225

Giả sử 16^k – 15k – 1 ⋮ 225

Ta chứng minh 16^k+1 – 15(k+1) – 1 ⋮ 225

Thực vậy: 16^k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16^k – 15k – 15 – 1

= (16^k – 15k – 1) + 15.16^k – 15

Theo giả thiết qui nạp 16^k – 15k – 1 ⋮ 225

Còn 15.16^k – 15 = 15(16^k – 1) ⋮ 15.15 = 225

Vậy 16ⁿ – 15n – 1 ⋮ 225.

Mình sẽ sử dụng hằng đẳng thức sau để chứng minh:

xⁿ-yⁿ= (x-y)(x^n-1 +

x^n-2y+....+ y^n-1) với mọi n € N

Ta có: 16ⁿ -15n-1

= (16ⁿ-1) -15n

= (16-1)(16^n-1+ ...+1)-15n

= 15(16^n-1+...+1-n)

Vì 15 chia hết cho 15

Và biểu thức trong ngoặc chia hết cho 15 nên 16ⁿ-15n-1 chia hết cho 225 (đpcm)

đề đủ là \(CMR:16^n-15n-1⋮225\forall n\in N^{\circledast}\)

bài lm

nếu \(n=1\Rightarrow16^n-15n-1=0⋮225\)

giả sử : \(n=k\) thì ta có : \(16^n-15n-1=16^k-15k-1⋮225\)

khi đó nếu \(n=k+1\) thì ta có :

\(16^n-15n-1=16^{k+1}-15\left(k+1\right)-1=16.16^k-15k-15-1\)

\(16.16^k-16.15k-16+15.15k=16\left(16^k-15k-1\right)+225k⋮225\)

\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)

bạn xét hai trường hợp n=0 và n khác 0 nhé

nếu n=0 thì A=0 chia hết cho15

Đặ Un=16^n-15n-1=225

Gỉa sử ta có Un chia hết cho 225 với n bằng một giá trị k bất kì (k>=1) tức là Uk=16^k-15k-1 chia hết cho 225

Do đó ta cần chứng minh tiếp U[k+1]=16^k+1-15k-1 chia hết cho 225 là ok

Nên ta có tiếp 16^(k+1)-15(k+1)-1=16^16k-15k-15-1=16^k-15k-1+15*16^k-15=Uk+15+(16^k-1)*(1) do đó nên ta đã có Uk chia hết cho 225.Rồi ta chỉ cần chứng minh cho 16^k-1 chia hết cho 15 là được