Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
꧁༺ΑЅЅΑЅΙИঔ
Xem chi tiết
Pham Van Hung
24 tháng 3 2019 lúc 16:24

Đặt A là biểu thức ở vế trái

Theo bất đẳng thức tam giác: \(\hept{\begin{cases}b+c>a\\c+a>b\\a+b>c\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}b+c-a>0\\c+a-b>0\\a+b-c>0\end{cases}}\)

Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\left(x;y;z>0\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}}\)

Khi đó: \(A=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}\)

\(=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

꧁༺ΑЅЅΑЅΙИঔ
24 tháng 3 2019 lúc 16:39

BN có thể giải thích cho mk vì sao \(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)\)

đc ko ?

Pham Van Hung
24 tháng 3 2019 lúc 16:46

Theo bài ra, x;y;z > 0

Xét hiệu: \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\) (với x;y >0 )

\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)

Tương tự: \(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\ge2,\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\ge2\)

Do đó: \(\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z

\(\Rightarrow b+c-a=a+c-b=a+b-c\Rightarrow a=b=c\)

꧁༺ΑЅЅΑЅΙИঔ
Xem chi tiết
nguyễn ngọc dinh
24 tháng 3 2019 lúc 17:58

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=x\\b+c-a=y\\c+a-b=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{x+z}{2}\\b=\frac{x+y}{2}\\c=\frac{y+z}{2}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)

\(A=\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}+\frac{\frac{y+z}{2}}{x}\)

\(A=\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}+\frac{y+z}{2x}\)

\(A=\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}+\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(A\ge6\sqrt[6]{\frac{x}{2y}.\frac{z}{2y}.\frac{x}{2z}.\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{y}{2x}}=6.\frac{1}{2}=3\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=z <=> a=b=c

Nguyễn Thành Trương
24 tháng 3 2019 lúc 17:54

Áp dụng BĐT AM-GM ta có $\sum \frac{a}{b+c-a} \ge 3 \sqrt[3]{ \frac{abc}{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}} \ge 3$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Y
24 tháng 3 2019 lúc 18:04

Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a>0\\a+b-c>0\\c+a-b>0\end{matrix}\right.\)

* Ta cm bđt : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

+ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Do đó : \(-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le2\left(ab+bc+ca\right)-\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le ab+bc+ca\)

+ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Do đó : \(2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

* Áp dụng bđt Cauchy Schwaz ta có :

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\) \(=\frac{a^2}{ab+ac-a^2}+\frac{b^2}{ab+bc-b^2}+\frac{c^2}{ac+bc-c^2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Dương Hoàng Anh Văn ( Te...
Xem chi tiết
Dân game thủ
21 tháng 3 2019 lúc 21:30

Bài số ảo nhờ

kí tện

Dân game thủ

 kakakkakak tk cho bố m à

Trần Thanh Phương
22 tháng 3 2019 lúc 20:03

Bài 1 : Đề cần có điều kiện a,b,c là các số thực dương

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(=1\cdot\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)( vì \(a+b+c=1\))

Áp dụng BĐT Cauchy cho bộ 3 số dương ta có :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\end{cases}}\)

Khi đó : \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{3\cdot3\cdot\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{abc}}=9\)

Hay \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)(đpcm)

kudo shinichi
24 tháng 3 2019 lúc 7:49

Bài 2:

\(\hept{\begin{cases}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)

\(=\frac{\frac{y+z}{2}}{x}+\frac{\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{\frac{x+y}{2}}{z}\)

\(=\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}\)

Dùng AM-GM tự làm nốt

Nguyệt Băng Vãn
Xem chi tiết
phan gia huy
Xem chi tiết
Đà Giang
25 tháng 1 2018 lúc 21:37

Để mình hướng dẫn bằng lời nhé . Nếu đánh ra hết thì rất dài và không tốt cho cậu :

Đặt x= mẫu thứ nhất (1)

       y=mẫu thứ hai (2)

        z=mẫu thứ ba (3)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được .... Cậu tự tính cho tốt.

Sau đó rút c= x+y/2(@@@)

Tương tự với (2) và (3), (1) và (2)

Ta có b=x+z/2(@@)... a=y+z/2(@)

Cộng vế với vế của (@), (@@), (@@@) ta có 

vế trái bằng \(\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{y+x}{2z}\)

Đặt 1/2 ra sau đó tách các phân số ra như sau 

\(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{y}{z}+\frac{x}{z}\)

Dễ dàng chuyển chúng sang BĐT Cauchy sẽ được kết quả cuối cùng là điều cần phải CM... Khó hiểu có thể hỏi lại 

Phan Thị Hà Vy
27 tháng 1 2018 lúc 14:35

ai có thể giải ra thành bài luôn được ko, bạn ghi mình khồn hiểu

Pain Thiên Đạo
14 tháng 2 2018 lúc 10:52

đặt , a+b-c  , c+a-b , a+b-c = x,y,z

\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\)

\(a=\frac{\left(y+z\right)}{2},b=\frac{\left(x+z\right)}{2},c=\frac{\left(x+y\right)}{2}\)

như vậy Pt phải là

\(\frac{\left(y+z\right)}{\frac{2}{x}}+\frac{\left(x+z\right)}{\frac{2}{y}}+\frac{\left(x+y\right)}{\frac{2}{z}}\)

vì (b+c-a) =x 

Đa giang sai chắc chắn luôn

Trung Nguyen
Xem chi tiết
pham trung thanh
13 tháng 2 2018 lúc 19:55

Do a;b;c là 3 cạnh tam giác nên

\(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}}\)

Đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)

Gọi \(A=\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\)

\(\Rightarrow2A=\frac{\left(y+z\right)}{x}+\frac{\left(x+z\right)}{y}+\frac{\left(x+y\right)}{z}\)

            \(=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)

Rồi dùng Cô-si

\(\Rightarrow2A\ge6\)

\(\Leftrightarrow A\ge3\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c

Nguyệt Băng Vãn
Xem chi tiết
Lăng Nhược Y
Xem chi tiết

https://olm.vn/hoi-dap/detail/211794512831.html

Tham khảo ở link này (mình gửi cho)

Học tốt!!!!!!!!!!

bảo minh
Xem chi tiết
Hoàng Lê Bảo Ngọc
19 tháng 8 2016 lúc 13:34

Đặt \(x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c\) , khi đó : \(\begin{cases}2a=y+z\\2b=x+z\\2c=x+y\end{cases}\)

Ta có : \(\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}=\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)

                                                  \(\ge2+2+2=6\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge3\)

nguyễn thơ
30 tháng 8 2016 lúc 21:20

ta có \(\frac{a}{b+c}-1+\frac{b}{a+c}-1+\frac{c}{a+b}-1=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}-3\)     vì a b c là cách cạnh của tam giác nên biểu thức trên >= 3