\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}\Leftrightarrow2018\left(a+b\right)=3ab.\)(*)

Dễ thấy Vế trái  của (*) chia hết cho 1009 \(\Rightarrow3ab⋮1009\Rightarrow ab⋮1009\)(Do (3;1009)=1 )

Trường hợp 1: Cả 2 số a,b đều chia hết cho 1009 

Khi đó: \(\hept{\begin{cases}a=1009m\\b=1009n\end{cases}\left(m,n\inℕ^∗;m\ge n\right).}\)Thế vào (*) ta có:

\(2018\left(1009m+1009n\right)=3.1009m.1009n\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+n\right)=3mn\)

\(\Leftrightarrow6m-9mn+6n-4=-4\)

\(\Leftrightarrow3m\left(2-3n\right)-2\left(2-3n\right)=-4\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-2\right)\left(3n-2\right)=4\)

Mà \(m\ge n\Rightarrow3m-2\ge3n-2\);   \(m,n\inℕ^∗\Rightarrow3n-2>0\)hay \(3m-2\ge3n-2>0\)

Suy ra có 2 trường hợp

\(\hept{\begin{cases}3m-2=4\\3n-2=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1009.2\\b=1009.1\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}a=2018\\b=1009\end{cases}}\)

Thế vào phương trình đã cho ta được: \(\frac{1}{2018}+\frac{1}{1009}=\frac{3}{2018}\)( Thỏa mãn)

\(\hept{\begin{cases}3m-2=2\\3n-2=2\end{cases}\Leftrightarrow m=n=\frac{4}{3}}\)(loại)

Trường hợp 2: Trong hai số a,b chỉ có một số duy nhất chia hết cho 1009

Do vai trò của a,b như nhau nên Giả sử \(a⋮1009\Rightarrow a=1009k\left(k\inℕ^∗\right).\)

Khi đó thế vào (*) ta có: \(2018\left(1009k+b\right)=3.1009k.b\)

\(\Leftrightarrow2.\left(1009k+b\right)=3kb\Leftrightarrow2018k=b\left(3k-2\right)\)(**)

Mà vế trái  của biểu thức trên chia hết cho 1009. Lại có b không chia hết cho 1009

Suy ra \(3k-2⋮1009\)

Khi đó \(3k-2=1009t\left(t\inℕ^∗\right)\)

\(\Leftrightarrow3k=3.336t+t+2\)

\(\Leftrightarrow3\left(k-336t\right)=t+2\)

Suy ra \(t+2⋮3\)

Với \(t+2=3\Leftrightarrow t=1\)khi đó:\(3\left(k-336\right)=3\Leftrightarrow k=337\Rightarrow a=1009.337=340033\)

Thế vào hệ phương trình đã cho \(\frac{1}{1009.337}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}\Leftrightarrow b=674\)(thỏa mãn)

Với \(t+2=6\Leftrightarrow t=4\)Khi đó: \(3\left(k-336.4\right)=6\Leftrightarrow k=1346\Rightarrow a=1009.1346=1358114\)

Thế vào phương trình đầu đã cho : \(\frac{1}{1009.1346}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}\Leftrightarrow b=673\)(thỏa mãn)

Với \(t+2>6\Leftrightarrow t>4\Rightarrow3k-2=1009t>1009.4\Rightarrow k>1346\)

\(\Rightarrow2018k< 2019k-1346\Leftrightarrow2018k< 673\left(3k-2\right)\Rightarrow\frac{2018k}{3k-2}< 673\)

Từ (**) ta có: \(b=\frac{2018k}{3k-2}< 673\le672\Rightarrow\frac{1}{b}\ge\frac{1}{672}>\frac{3}{2018}.\)

Mà \(\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}-\frac{1}{a}< \frac{3}{2018}.\)Nên với \(1+2\ge6\)thì không có giá trị của a,b thỏa mãn đề bài.

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình đã cho là

\(\left(a,b\right)=\left(1358114;673\right),\left(340033;674\right),\left(2018;1009\right).\)

Ta có \(\frac{1}{a}=\frac{3}{2018}-\frac{1}{b}=\frac{3b-2018}{2018b}\)

=> \(3a=\frac{6054b}{3b-2018}=\frac{2018\left(3b-2018\right)+2018^2}{3b-2018}=2018+\frac{2018^2}{3b-2018}\)là số nguyên

=> \(\frac{2018^2}{3b-2018}\)là số nguyên 

Mà 3b-2018 chia 3 dư 1

=> \(3b-2018\in\left\{-2;1;4;1009;4036;2018^2\right\}\)

=> \(b\in\left\{672;673;674;1009;2018;1358114\right\}\)

Thay vào ta được cặp a,b và kết hợp với ĐK \(a\ge b>0\)

\(\left(a,b\right)=\left(1358114;673\right),\left(340033;674\right),\left(2018;1009\right)\)

1.b) \(\left(\left|x\right|-3\right)\left(x^2+4\right)< 0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left|x\right|-3\\x^2+4\end{cases}}\) trái dấu

\(TH1:\hept{\begin{cases}\left|x\right|-3< 0\\x^2+4>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x\right|< 3\\x^2>-4\end{cases}}\Leftrightarrow x\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)

\(TH1:\hept{\begin{cases}\left|x\right|-3>0\\x^2+4< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x\right|>3\\x^2< -4\end{cases}}\Leftrightarrow x\in\left\{\varnothing\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)

Bài 1b) có thể giải gọn hơn nhuư thế này

Cách gọn:

1b) \(\left(\left|x\right|-3\right)\left(x^2+4\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left|x\right|-3\\x^2+4\end{cases}}\)trái dấu

Mà \(x^2+4\ge0\) nên \(\left|x\right|-3< 0\Leftrightarrow\left|x\right|< 3\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{0;\pm1;\pm2\right\}\)

a) 3/x + 1/3 = y/3

3/x = y/3 - 1/3

3/x = y-1/3

=> 3 . 3 = x (y - 1)

=> 9 = x (y - 1)

=> x, y - 1 thuộc Ư(9) = {-9 ; -3 ; -1 ; 1 ; 3 ; 9}

Ta có bảng sau:

Vậy (x ; y) thuộc {(-9 ; 0) ; (-3 ; -2) ; (-1 ; -8) ; (1 ; 10) ; (3 ; 3) ; (9 ; 1)}.

b) x/6 - 1/y = 1/2

1/y = x/6 - 1/2

1/y = x/6 - 3/6

1/y = x-3/6

=> 6 = y (x - 3)

=> y, x - 3 thuộc Ư(6) = {-6 ; -3 ; -2 ; -1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 6}

...

Chỗ này bạn tự lập bảng nhé, tương tự như phần trước thôi ạ.

Ta có : \(\frac{3}{x}+\frac{1}{3}=\frac{y}{3}\)

=> \(\frac{3}{x}=\frac{y-1}{3}\)

=> x(y - 1) = 9

Lại có 9 = 3.3 = (-3).(-3) = 1.9 = (-1).(-9)

Lập bảng xét các trường hợp ta có

Vậy các cặp (x;y) ta có : (1 ; 10) ; (9 ; 2) ; (-1 ; -8) ; (-9 ; 0) ; (3 ; 4) ; (-3 ; -2)

b) \(\frac{x}{6}-\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{xy-6}{6y}=\frac{1}{2}\)

=> 2(xy - 6) = 6y

=> xy - 6 = 3y

=> xy - 3y = 6

=> y(x - 3) = 6

Ta có 6 = 1.6 = (-1).(-6) = 2.3 = (-2).(-3)

Lập bảng xét các trường hợp

Vậy các cặp (x;y) ta có : (1;9) ; (6 ; 4) ; (-1 ; -3) ; (-6 ; -2) ; (2 ; 6) ; (3 ; 5) ; (-2 ; 0) ; (-3 ; 1)

a/

\(\Leftrightarrow9+x=xy\Leftrightarrow9=x\left(y-1\right)\Rightarrow x=\frac{9}{y-1}.\)