a) Ta có: \(\left|2x-\dfrac{1}{3}\right|\ge0\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left|2x-\dfrac{1}{3}\right|-\dfrac{7}{4}\ge-\dfrac{7}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(2x=\dfrac{1}{3}\)

hay \(x=\dfrac{1}{6}\)

Vậy: \(A_{min}=-\dfrac{7}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{6}\)

b) Ta có: \(\dfrac{1}{3}\left|x-2\right|\ge0\forall x\)

\(\left|3-\dfrac{1}{2}y\right|\ge0\forall y\)

Do đó: \(\dfrac{1}{3}\left|x-2\right|+\left|3-\dfrac{1}{2}y\right|\ge0\forall x,y\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\left|x-2\right|+\left|3-\dfrac{1}{2}y\right|+4\ge4\forall x,y\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\3-\dfrac{1}{2}y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=6\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(B_{min}=4\) khi x=2 và y=6

a, Ta có: \(A=\left|x+2\right|+\left|9-x\right|\ge\left|X+2+9-x\right|=11\)

Dấu "=' xảy ra khi \(\left(x+2\right)\left(9-x\right)\ge0\Leftrightarrow-2\le x\le9\)

Vậy Min_A = 11 khi -2 =< x =< 9

b, Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\Rightarrow-\left(x-1\right)^2\le0\Rightarrow B=\frac{3}{4}-\left(x-1\right)^2\le\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 1

Vậy Max_B = 3/4 khi x=1

Ta có :\(A=\left|x+2\right|+\left|9-x\right|\ge\left|x+2+9-x\right|=11\)

Vậy \(A_{min}=11\) khi \(2\le x\le9\)

\(P=2x^2+y^2-10x-2xy+2019\)

\(P=x^2-2xy+y^2+x^2-10x+25+1994\)

\(P=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2\cdot x\cdot5+5^2\right)+1994\)

\(P=\left(x-y\right)^2+\left(x-5\right)^2+1994\ge1994\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=0\\x-5=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\x=5\end{cases}\Rightarrow}x=y=5}\)

Vậy.....

a) Có: \(\left|x-2\right|\ge0\)

\(\left|x-10\right|\ge0\)

\(\Rightarrow\left|x-2\right|+\left|x-10\right|+4\ge4\)

Xét \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow A=0+8+4=12\\x-10=0\Rightarrow x=10\Rightarrow A=8+0+4=12\end{cases}}\)

Vậy \(Min_A=12\) tại \(x=2\) hoặc \(10\)

b) Có: \(\left|x-1\right|\ge0\)

\(\left|x-2\right|\ge0\)

\(\left|x-3\right|\ge0\)

\(\Rightarrow B\ge0\)

Xét: \(\hept{\begin{cases}x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow B=0+1+2=3\\x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow B=1+0+1=2\\x-3=0\Rightarrow x=3\Rightarrow B=2+1+0=3\end{cases}}\)

Vậy \(Min_B=2\) tại \(x=2\)

*\(x\ge\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=2x-1\)

\(D=\left(2x-1\right)^2-3\left(2x-1\right)+2=\left(2x-1\right)^2-2.\dfrac{3}{2}\left(2x-1\right)+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}=\left(2x-1-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=\left(2x-\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\)\(D_{min}=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}\left(1\right)\)

*\(x< \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=-2x+1\)

\(D=\left(2x-1\right)^2+3\left(2x-1\right)+2=\left(2x-1\right)^2+2.\dfrac{3}{2}\left(2x-1\right)+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}=\left(2x-1+\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=\left(2x+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\)\(D_{min}=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x=\dfrac{-1}{4}\left(2\right)\)
-Từ (1) và (2) suy ra \(D_{min}=-\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x\in\left\{\dfrac{5}{4};\dfrac{-1}{4}\right\}\)

a) Nhận xét :

/ x + 8 / > 0 với mọi x

/ y - 3 / > 0 với mọi y

=> / x + 8 / + / y - 3 / > 0 

=> / x + 8 / + / y - 3 / + 2018 > 2018

=> M > 2018

=> Giá trị nhỏ nhất của M = 2018

Dấu " = " xảy ra khi :

/ x + 8 / = 0

và / y - 3 / = 0

=> x + 8 = 0

và y - 3 = .0

=> x = - 8

Và y = 3

Vậy giá trị  nhỏ nhất của M là 2018 khi x = - 8 và y = 3

b) Nhận xét :

/ x + 2 / > 0 với mọi x 

/ y - 1 / > 0 với mọi y

=> / x + 2 / + / y - 1 / > 0

=> - / x + 2 / - / y - 1 / < 0

=> - / x + 2 / - / y - 1 / + 1999 < 1999

=> N < 1999

=> Giá trị lớn nhất của N = 1999

Dấu " = " xảy ra khi :

 / x + 2 / = 0

và / y - 1 / = 0

=> x + 2 = 0

và y - 1 = 0

=> x = - 2 

và y = 1

Vậy giá trị lớn nhất của N là 1999 khi x = - 2 và y = 1

Câu 1 :

\(E=4x^2+y^2-4x-2y+3\)

\(E=\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot1+1^2+y^2-2\cdot y\cdot1+1^2+1\)

\(E=\left(2x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+1\ge1\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-1=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}}\)

Câu 2 :

\(G=x^2+2y^2+2xy-2y\)

\(G=x^2+2xy+y^2+y^2-2.y\cdot1+1^2-1\)

\(G=\left(x+y\right)^2+\left(y-1\right)^2-1\ge-1\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-1\\y=1\end{cases}}}\)

Còn câu F bạn ơi. Giúp Gk vs

\(F=\frac{3}{2x^2+x+1}=\frac{3}{2\left(x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)}=\frac{3}{2\left(x^2+2x\cdot\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right)+\frac{7}{8}}=\frac{3}{2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}}\)

Vi \(2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2\ge0\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}\ge8\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}}\le\frac{1}{\frac{7}{8}}\Rightarrow F=\frac{3}{2\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{7}{8}}\le\frac{3}{\frac{7}{8}}=\frac{24}{7}\)

Dấu "=" xảy ra <=>x+1/4=0<=>x=-1/4