Lời giải:

Xét tam giác $ABH$ và $CAH$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^0$

$\widehat{ABH}=\widehat{CAH}$ (cùng phụ góc $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \triangle ABH\sim \triangle CAH$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AB}{CA}=\frac{BH}{AH}=\frac{BH:2}{AH:2}=\frac{BP}{AQ}$

Xét tam giác $ABP$ và $CAQ$ có:

$\widehat{ABP}=\widehat{CAQ}$ (cùng phụ $\widehat{BAH}$)

$\frac{AB}{CA}=\frac{BP}{AQ}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle ABP\sim \triangle CAQ$ (c.g.c)

Ta có đpcm.

Hình vẽ:

                               Bài giải

a) Xét tam giác ABH và CAH có:

  \(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\left(=90^o-\widehat{ABC}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta ABH\infty\Delta CAH\left(g.g\right)\)

 \(\Delta ABH\infty\Delta CAH\left(g.g\right)\) (câu a)  \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{BH\text{ : }2}{AH\text{ : 2}}=\dfrac{BP}{AQ}\)

Xét \(\Delta ABP \text{và }\Delta CAQ\) có: $\frac{BP}{AQ}=\frac{AB}{AC}$

                                        \(\widehat{CAH}=\widehat{ABH}\left(=90^o-\widehat{BAH}\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABP\infty\Delta CAQ\left(c.g.c\right)\)

b, Ta có: PQ là đg trung bình của\(\Delta ABH\Rightarrow\text{ }PQ\text{ // }AB\text{ }\Rightarrow\text{ }PQ\perp AC\)  

Mà AH$\perp$PC  => Q là trực tâm của \(\Delta APC\)

\(\Rightarrow\text{ }AP\perp CQ\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

góc C chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHAC
Xét ΔAHB vuông tại H và ΔHKA vuông tại K có

góc HAB=góc KHA

=>ΔAHB đồng dạng với ΔHKA

b: ΔAHB đồng dạng với ΔHKA

=>AH/HK=AB/HA

=>AH^2=HK*AB

c: Xét ΔCAM có KI//AM

nên KI/AM=CI/CM

Xét ΔCMB có IH//MB

nên IH/MB=CI/CM

=>KI/AM=IH/MB

mà AM=MB

nên KI=IH

=>I là trung điểm của KH

Bạn tự vẽ hình nha!

a, Xét Tg ABH và CAH có:

  AHB=CHA  (=90)

  BAH=ACH (=90-ABC)

=>  ABH đồng dạng CAH (g.g)

b, Tg ABH đồng dạng CAH (câu a)  => \(\frac{AB}{AC}=\frac{BH}{AH}=\frac{BH:2}{AH:2}=\frac{BP}{AQ}\)

Xét Tg ABP và CAQ có: \(\frac{BP}{AQ}=\frac{AB}{AC}\)

                                        CAH=ABH  (=90-BAH)

=> Tg ABP đồng dạng CAQ (c.g.c)

c, Ta có: PQ là đg trung bình của Tg ABH  => PQ//AB => PQ \(\perp\)AC

Mà AH\(\perp\)PC  => Q là trực tâm của Tg APC

=> AP \(\perp\)CQ

hình như hình vẽ phía dưới sai rồi: Q là trung điểm AH mà, ko phải CH

nên bài giải phía dưới sai òi

a: Xét ΔHMN và ΔHAB có

\(\dfrac{HM}{HA}=\dfrac{HN}{HB}\)

\(\widehat{MHN}\) chung

Do đó: ΔHMN đồng dạng với ΔHAB

b:

Xét ΔHAB vuông tại H và ΔHCA vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(=90^0-\widehat{HBA}\right)\)

Do đó: ΔHAB đồng dạng với ΔHCA

=>\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HB}{HA}\)

=>\(HA^2=HB\cdot HC\)

 \(HM\cdot HA=\dfrac{1}{2}\cdot HA\cdot HA=\dfrac{1}{2}HA^2\)

\(HN\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot HB\cdot HC=\dfrac{1}{2}\cdot HA^2\)

Do đó: \(HM\cdot HA=HN\cdot HC\)

c: \(HM\cdot HA=HN\cdot HC\)

=>\(\dfrac{HN}{HM}=\dfrac{HA}{HC}\)

Xét ΔHAN vuông tại H và ΔHCM vuông tại H có

\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{HN}{HM}\)

Do đó: ΔHAN đồng dạng với ΔHCM

Bài làm

b) Xét tam giác HAP có:

Q là trung điểm BH

P là trung điểm AH

=> QP là đường trung bình

=> QP // AB 

=> \(\widehat{HQP}=\widehat{QPA}\)

Xét tam giác HQP và tam giác ABC có:

\(\widehat{HQP}=\widehat{QPA}\)

\(\widehat{PHQ}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

=> Tam giác HQP ~ Tam giác ABC ( g - g )

=> \(\frac{HQ}{AB}=\frac{HP}{AC}\Rightarrow\frac{AC}{AB}=\frac{HP}{HQ}\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{HQ}{HP}\)             (1)

Xét tam giác HAB có: 

QP // AB

=> Tam giác HQP ~ HAB 

=> \(\frac{HQ}{QB}=\frac{HP}{PA}\Rightarrow\frac{HQ}{HP}=\frac{QB}{PA}\)             (2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{AB}{AC}=\frac{QB}{PA}\)

Xét tam giác AHC vuông ở H có: 

\(\widehat{PAC}+\widehat{BCA}=90^0\)(3)

Xét tam giác ABC vuông ở A có:

\(\widehat{CBA}+\widehat{BCA}=90^0\)  (4)

Từ (3) và (4) => \(\widehat{PAC}=\widehat{CBA}\)

Xét tam giác ABQ và tam giác CAP có:

\(\frac{AB}{AC}=\frac{QB}{PA}\)

\(\widehat{PAC}=\widehat{CBA}\)

=> Tam giác ABQ ~ Tam giác CAP ( c-g-c ) ( đpcm )

Bài làm

a) Vì AM là trung tuyến

=> M là trung điểm BC 

=> BM = MC = BC/2 = ( BH + HC )/2 = ( 9 + 16 )/2 = 12,5 ( cm )

Ta có: BH + HM + MC = BC

=> BH + HM + MC = BH + HC

hay 9 + HM + 12,5 = 9 + 16

=> HM = 9 + 16 - 9 - 12,5 

=> HM = 3,5 ( cm )

Vì tam giác ABC là tam giác vuông ở A

Mà AM trung tuyến

=> AM = MC = BM = 12,5 ( cm )

Xét tam giác AHM vuông ở H có:

Theo định lí Pytago có:

AH² = AM² - HM² 

hay AH² = 12,5² - 3,5² 

=> AH² = 156,25 - 12,25

=> AH² = 144

=> AH = 12 ( cm )

S_ABC = 1/2 . AH . HM = 1/2 . 12 . 3,5 = 21 ( cm² )

Xét tam giác AHB vuông ở H có:

Theo định lí Py-ta-go có:

AB² = BH² + AH² 

=> AB² = 9² + 21² 

=> AB² = 81 + 441

=> AB² = 522

=> AB \(\approx\)22,8 ( cm )

Xét tam giác AHC vuông ở H có: 

Theo định lí Pytago có:

AC² = AH² + HC² 

=> AC² = AH² + ( HM + MC )² 

hay AC² = 21² + ( 3,5 + 12,5 )² 

=> AC² = 441 + 256

=> AC² = 697

=> AC \(\approx\)26,4 ( cm )

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = 22,8 + 26,4 + 25 = 74,2 ( cm )

S_ABC = 1/2 . AH . BC = 1/2 . 21 . 25 = 262,5 ( cm² )