giải phương trình: y2+4xx+2y-2yx+1+2=0
Giải hệ phương trình:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{2y+24}+\sqrt{12-x}=6\\x^3+2xy^2+x-2yx^2-4y^3-2y=0\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{2y+24}+\sqrt{12-x}=6\left(1\right)\\x^3+2xy^2+X-2yx^2-4y^3-2y=0\left(2\right)\end{cases}}\)
\(\left(1\right)\)ĐK:\(x\le12\)
Đặt \(u=\sqrt[3]{2y+24}\)\(\Rightarrow u^3=2y+24\)
\(v=\sqrt{12-x}\) \(\Rightarrow v^2=12-x\)
Ta có hệ phương trình :\(\hept{\begin{cases}u+v=6\\u^3+v^2=2y-x+36\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}v=6-u\\u^3+\left(6-u\right)^2=2y-x+36\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}v=6-u\\u^3+u^2+36-12u=2y+x+36\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}v=6-u\\u^3+u^2-12u=2y+x\end{cases}}\)
Hãy cho biết phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn:
2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0;
x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0;
x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0;
x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0.
+ 2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0 không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x2 khác hệ số của y2.
+ Phương trình x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 có :
a = –1; b = 2; c = –4 ⇒ a2 + b2 – c = 9 > 0
⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.
+ Phương trình x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0 có :
a = 1; b = 3; c = 20 ⇒ a2 + b2 – c = –10 < 0
⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.
+ Phương trình x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0 có :
a = –3; b = –1; c = 10 ⇒ a2 + b2 – c = 0 = 0
⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.
Tìm nghiệm nghuyên của phương trình:
\(2yx^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)
Giải hệ phương trình: x y − y 2 = 3 y − 1 − x + 2 y − 1 1 x 3 y − 4 x 2 + 7 x y − 5 x − y + 2 = 0 2
(với x ; y ) ta được nghiệm là (x; y). Khi đó x. y bằng:
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
ĐK: y ≥ 1 3 x + 2 y ≥ 1 ⇔ x ≥ 1 − 2 y y ≥ 1 3
Xét 3 y − 1 + x + 2 y − 1 = 0 ⇔ x = y = 1 3
Thay vào (2) không thỏa mãn
Xét 3 y − 1 + x + 2 y − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 3 y ≠ 1 3
(1) ⇔ y ( x – y ) = y − x 3 y − 1 + x + 2 y − 1
Với x = y, thay vào (2) ta được:
x 4 – 4 x 3 + 7 x 2 − 6 x + 2 = 0 ⇔ ( x – 1 ) 2 ( x 2 – 2 x + 2 ) = 0 ⇔ x = 1
Khi đó: y = 1 (TM). Vậy nghiệm của hệ là (1; 1)
Nên x. y = 1
Đáp án:B
Giải phương trình bằng phương pháp đưa về dạng ước số:
a) x2-x=y2-1
b) x2+12x=y2
c) x2+xy-2y-x-5=0
Lời giải:
a.
$x^2-x=y^2-1$
$\Leftrightarrow x^2-x+1=y^2$
$\Leftrightarrow 4x^2-4x+4=4y^2$
$\Leftrightarrow (2x-1)^2+3=(2y)^2$
$\Leftrightarrow 3=(2y)^2-(2x-1)^2=(2y-2x+1)(2y+2x-1)$
Đến đây xét các TH:
TH1: $2y-2x+1=1; 2y+2x-1=3$
TH2: $2y-2x+1=-1; 2y+2x-1=-3$
TH3: $2y-2x+1=3; 2y+2x-1=1$
TH4: $2y-2x+1=-3; 2y+2x-1=-1$
b.
$x^2+12x=y^2$
$\Leftrightarrow (x+6)^2=y^2+36$
$\Leftrightarrow 36=(x+6)^2-y^2=(x+6-y)(x+6+y)$
Đến đây xét trường hợp tương tự phần a.
c.
$x^2+xy-2y-x-5=0$
$\Leftrightarrow x^2+xy=x+2y+5$
$\Leftrightarrow 4x^2+4xy=4x+8y+20$
$\Leftrightarrow (2x+y)^2=4x+8y+20+y^2$
$\Leftrightarrow (2x+y)^2-2(2x+y)+1=y^2+6y+21$
$\Leftrightarrow (2x+y-1)^2=(y+3)^2+12$
$\Leftrightarrow (2x+y-1)^2-(y+3)^2=12$
$\Leftrightarrow (2x+y-1-y-3)(2x+y-1+y+3)=12$
$\Leftrightarrow (2x-4)(2x+2y+2)=12$
$\Leftrightarrow (x-2)(x+y+1)=3$
Đến đây đơn giản rồi.
a) \(x^2-x=y^2-1\)
\(\Rightarrow x^2-x+1=y^2\)
\(\Rightarrow4x^2-4x+4=4y^2\)
\(\Rightarrow4x^2-4x+1+3=\left(2y\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2y\right)^2=-3\)
\(\Rightarrow\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)=-3\)
Vì \(x,y\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)\in Z\\\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)\inƯ\left(7\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có bảng:
x-y | -1 | 0 | -2 | 1 |
x+y | 1 | -2 | 0 | -1 |
x | 0 | -1 | -1 | 0 |
y | 1 | -1 | -1 | -1 |
Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(-1;-1\right);\left(-1;-1\right);\left(0;-1\right)\right\}\)
Giải hệ phương trình 2 x 2 − y 2 + x y − 5 x + y + 2 = y − 2 x + 1 − 3 − 3 x x 2 − y − 1 = 4 x + y + 5 − x + 2 y − 2
ĐK: y − 2 x + 1 ≥ 0 , 4 x + y + 5 ≥ 0 , x + 2 y − 2 ≥ 0 , x ≤ 1
T H 1 : y − 2 x + 1 = 0 3 − 3 x = 0 ⇔ x = 1 y = 1 ⇒ 0 = 0 − 1 = 10 − 1 ( k o t / m ) T H 2 : x ≠ 1 , y ≠ 1
Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được
( x + y − 2 ) ( 2 x − y − 1 ) = x + y − 2 y − 2 x + 1 + 3 − 3 x ( x + y − 2 ) 1 y − 2 x + 1 + 3 − 3 x + y − 2 x + 1 = 0 ⇒ 1 y − 2 x + 1 + 3 − 3 x + y − 2 x + 1 > 0 ⇒ x + y − 2 = 0
Thay y= 2-x vào pt thứ 2 ta được x 2 + x − 3 = 3 x + 7 − 2 − x
⇔ x 2 + x − 2 = 3 x + 7 − 1 + 2 − 2 − x ⇔ ( x + 2 ) ( x − 1 ) = 3 x + 6 3 x + 7 + 1 + 2 + x 2 + 2 − x ⇔ ( x + 2 ) 3 3 x + 7 + 1 + 1 2 + 2 − x + 1 − x = 0
Do x ≤ 1 ⇒ 3 3 x + 7 + 1 + 1 2 + 2 − x + 1 − x > 0
Vậy x + 2 = 0 ⇔ x = − 2 ⇒ y = 4 (t/m)
Với giá trị nào của tham số m thì phương trình x 2 + y 2 - 4x + 2y - m + 1 = 0 là phương trình của một đường tròn?
A. m ≥ -4
B. m ≤ -4
C. m > -4
D. m < -4
Đáp án: C
x 2 + y 2 - 4x + 2y - m + 1 = 0 ⇔ (x - 2 ) 2 + (y + 1 ) 2 = m + 4 (*)
Để (*) là phương trình của một đường tròn thì: m + 4 > 0 ⇔ m > -4
Viết phương trình mặt phẳng song song với (P): 6x -2y + 3z + 7 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 +2x+2y+2z - 1 = 0
A. 6x - 2y + 3z - 8 = 0
B. 6x - 2y + 3z - 3 = 0
C. 6x - 2y + 3z -7 = 0
D. 6x - 2y + 3z - 5 = 0
Chọn C
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm. Vì (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng
6x - 2y + 3z + a = 0
Tâm mặt cầu I(-1;-1;-1) bán kính R = 2
Vì (Q) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I,(Q))=R hay
Viết phương trình mặt phẳng song song với P : 6 x - 2 y + 3 z + 7 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 2 y + 2 z - 1 = 0
A. 6 x - 2 y + 3 z - 8 = 0
B. 6 x - 2 y + 3 z - 3 = 0
C. 6 x - 2 y + 3 z - 7 = 0
D. 6 x - 2 y + 3 z - 5 = 0
Đáp án C
Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm. Vì (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng
Tâm mặt cầu I(-1;-1;-1) bán kính R = 2
Vì (Q) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I,(Q)) = R hay
Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 . Phương trình các tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng ∆: x + 2y – 5 = 0 là
A. x + 2 y + 5 ± 3 5 = 0
B. x + 2 y ± 3 = 0
C. x + 2 y ± 3 √ 5 = 0
D. x + 2 y = 0
Các phương trình song song với ∆: x+2y-5=0 có dạng d: x+2y+c=0
Từ đường tròn (C) ta có tâm I(-2;1) và bán kính R=3
Vì đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:
Vậy hai phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là: x + 2 y + 3 5 = 0 và x + 2 y - 3 5 = 0 .