\(\hept{\begin{cases}\sqrt[3]{2y+24}+\sqrt{12-x}=6\left(1\right)\\x^3+2xy^2+X-2yx^2-4y^3-2y=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\)ĐK:\(x\le12\)

Đặt \(u=\sqrt[3]{2y+24}\)\(\Rightarrow u^3=2y+24\)

\(v=\sqrt{12-x}\) \(\Rightarrow v^2=12-x\)

Ta có hệ  phương trình :\(\hept{\begin{cases}u+v=6\\u^3+v^2=2y-x+36\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}v=6-u\\u^3+\left(6-u\right)^2=2y-x+36\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}v=6-u\\u^3+u^2+36-12u=2y+x+36\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}v=6-u\\u^3+u^2-12u=2y+x\end{cases}}\)

lop may vay

+ 2x2 + y2 – 8x + 2y – 1 = 0 không phải phương trình đường tròn vì hệ số của x2 khác hệ số của y2.

+ Phương trình x2 + y2 + 2x – 4y – 4 = 0 có :

a = –1; b = 2; c = –4 ⇒ a2 + b2 – c = 9 > 0

⇒ phương trình trên là phương trình đường tròn.

+ Phương trình x2 + y2 – 2x – 6y + 20 = 0 có :

a = 1; b = 3; c = 20 ⇒ a2 + b2 – c = –10 < 0

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

+ Phương trình x2 + y2 + 6x + 2y + 10 = 0 có :

a = –3; b = –1; c = 10 ⇒ a2 + b2 – c = 0 = 0

⇒ phương trình trên không là phương trình đường tròn.

ĐK:  y ≥ 1 3 x + 2 y ≥ 1 ⇔ x ≥ 1 − 2 y y ≥ 1 3

Xét  3 y − 1 + x + 2 y − 1 = 0 ⇔ x = y = 1 3

Thay vào (2) không thỏa mãn

Xét  3 y − 1 + x + 2 y − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 3 y ≠ 1 3

(1) ⇔ y ( x   –   y ) = y − x 3 y − 1 + x + 2 y − 1

Với x = y, thay vào (2) ta được:

x 4 – 4 x 3 + 7 x 2 − 6 x + 2 = 0 ⇔ ( x – 1 ) 2   ( x 2 – 2 x + 2 ) = 0 ⇔ x   =   1

Khi đó: y = 1 (TM). Vậy nghiệm của hệ là (1; 1)

Nên x. y = 1

Đáp án:B

Lời giải:

a.

$x^2-x=y^2-1$
$\Leftrightarrow x^2-x+1=y^2$

$\Leftrightarrow 4x^2-4x+4=4y^2$

$\Leftrightarrow (2x-1)^2+3=(2y)^2$

$\Leftrightarrow 3=(2y)^2-(2x-1)^2=(2y-2x+1)(2y+2x-1)$

Đến đây xét các TH:

TH1: $2y-2x+1=1; 2y+2x-1=3$

TH2: $2y-2x+1=-1; 2y+2x-1=-3$

TH3: $2y-2x+1=3; 2y+2x-1=1$

TH4: $2y-2x+1=-3; 2y+2x-1=-1$

b.

$x^2+12x=y^2$

$\Leftrightarrow (x+6)^2=y^2+36$

$\Leftrightarrow 36=(x+6)^2-y^2=(x+6-y)(x+6+y)$

Đến đây xét trường hợp tương tự phần a.

c.

$x^2+xy-2y-x-5=0$

$\Leftrightarrow x^2+xy=x+2y+5$
$\Leftrightarrow 4x^2+4xy=4x+8y+20$

$\Leftrightarrow (2x+y)^2=4x+8y+20+y^2$

$\Leftrightarrow (2x+y)^2-2(2x+y)+1=y^2+6y+21$

$\Leftrightarrow (2x+y-1)^2=(y+3)^2+12$
$\Leftrightarrow (2x+y-1)^2-(y+3)^2=12$

$\Leftrightarrow (2x+y-1-y-3)(2x+y-1+y+3)=12$

$\Leftrightarrow (2x-4)(2x+2y+2)=12$

$\Leftrightarrow (x-2)(x+y+1)=3$

Đến đây đơn giản rồi.

a) \(x^2-x=y^2-1\)

\(\Rightarrow x^2-x+1=y^2\)

\(\Rightarrow4x^2-4x+4=4y^2\)

\(\Rightarrow4x^2-4x+1+3=\left(2y\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^2-\left(2y\right)^2=-3\)

\(\Rightarrow\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)=-3\)

Vì \(x,y\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)\in Z\\\left(2x-2y+1\right)\left(2x+2y+1\right)\inƯ\left(7\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có bảng:

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;1\right);\left(-1;-1\right);\left(-1;-1\right);\left(0;-1\right)\right\}\)

ĐK:  y − 2 x + 1 ≥ 0 , 4 x + y + 5 ≥ 0 , x + 2 y − 2 ≥ 0 , x ≤ 1

T H 1 :   y − 2 x + 1 = 0 3 − 3 x = 0 ⇔ x = 1 y = 1 ⇒ 0 = 0 − 1 = 10 − 1 ( k o   t / m ) T H 2 :   x ≠ 1 , y ≠ 1  

Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được

( x + y − 2 ) ( 2 x − y − 1 ) = x + y − 2 y − 2 x + 1 + 3 − 3 x ( x + y − 2 ) 1 y − 2 x + 1 + 3 − 3 x + y − 2 x + 1 = 0 ⇒ 1 y − 2 x + 1 + 3 − 3 x + y − 2 x + 1 > 0 ⇒ x + y − 2 = 0

Thay y= 2-x vào pt thứ 2 ta được  x 2 + x − 3 = 3 x + 7 − 2 − x

⇔ x 2 + x − 2 = 3 x + 7 − 1 + 2 − 2 − x ⇔ ( x + 2 ) ( x − 1 ) = 3 x + 6 3 x + 7 + 1 + 2 + x 2 + 2 − x ⇔ ( x + 2 ) 3 3 x + 7 + 1 + 1 2 + 2 − x + 1 − x = 0

Do  x ≤ 1 ⇒ 3 3 x + 7 + 1 + 1 2 + 2 − x + 1 − x > 0

Vậy  x + 2 = 0 ⇔ x = − 2 ⇒ y = 4 (t/m)

Đáp án: C

x 2  + y 2  - 4x + 2y - m + 1 = 0 ⇔ (x - 2 ) 2  + (y + 1 ) 2  = m + 4 (*)

Để (*) là phương trình của một đường tròn thì: m + 4 > 0 ⇔ m > -4

Chọn C

Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm. Vì (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng

6x - 2y + 3z + a = 0 

Tâm mặt cầu I(-1;-1;-1) bán kính R = 2 

Vì (Q) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I,(Q))=R hay

Đáp án C

Gọi (Q) là mặt phẳng cần tìm. Vì (Q) song song với (P) nên phương trình (Q) có dạng 

Tâm mặt cầu I(-1;-1;-1) bán kính R = 2 

Vì (Q) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I,(Q)) = R hay

Các phương trình song song với ∆: x+2y-5=0 có dạng d: x+2y+c=0

Từ đường tròn (C) ta có tâm I(-2;1) và bán kính R=3

Vì đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

Vậy hai phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) là: x + 2 y + 3 5 = 0  và x + 2 y - 3 5 = 0 .