1) đkxđ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3}{2}\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Xét biểu thức \(P=x^3+y^3+7xy\left(x+y\right)\)

\(P=\left(x+y\right)^3+4xy\left(x+y\right)\)

\(P\ge4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh \(4\sqrt{xy}\left(x+y\right)^2\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)  (*)

Thật vậy, (*)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{2xy\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^4\ge8xy\left(x^2+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+6x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\) (**)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta được:

VT(**) \(=\left(x^2+y^2\right)^2+4x^2y^2\ge4xy\left(x^2+y^2\right)\)\(=\) VP(**)

Vậy (**) đúng \(\Rightarrowđpcm\). Do đó, để đẳng thức xảy ra thì \(x=y\). 

Thế vào pt đầu tiên, ta được \(\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\left(nhận\right)\\\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\end{matrix}\right.\)

 Rõ ràng với \(x\ge\dfrac{3}{2}\) thì \(\dfrac{1}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}\le\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2.3}{2}-3}+\sqrt{\dfrac{3}{2}}}< 2\) nên ta chỉ xét TH \(x=3\Rightarrow y=3\) (nhận)

Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(3;3\right)\)

\(a,x+\frac{4}{5}-x+4=\frac{x}{3}-x-1\)

\(x+\frac{24}{5}-x=\frac{x}{3}-x-1\)

\(x+\frac{24}{5}-x-\frac{x}{3}+x+1=0\)

\(x+\frac{29}{5}-\frac{x}{3}=0\)

\(x-\frac{1}{3}x=-\frac{29}{5}\)

\(\frac{2}{3}x=-\frac{29}{5}\)

\(x=-\frac{87}{10}\)

1/a/\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+5=0\\x+6=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-5\\x=-6\end{cases}}}\)

Vậy ...................

b/ ĐKXĐ:\(x\ne2;x\ne5\)

.....\(\Rightarrow3x^2-15x-x^2+2x+3x=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-10x=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=0\\x-5=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(nhận\right)\\x=5\left(loại\right)\end{cases}}}\)

Vậy ..............

`Answer:`

`1.`

a. \(\left(x+5\right)\left(2x+1\right)-x^2+25=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(2x+1\right)-\left(x^2-25\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(2x+1\right)-\left(x+5\right)\left(x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(2x+1-x+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x+6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+5=0\\x+6=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-6\\x=-5\end{cases}}}\)

b. \(\frac{3x}{x-2}-\frac{x}{x-5}+\frac{3x}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}=0\left(ĐKXĐ:x\ne2;x\ne5\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x\left(x-5\right)}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}-\frac{x\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}+\frac{3x}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{3x\left(x-5\right)-x\left(x-2\right)+3x}{\left(x-2\right)\left(x-5\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-5\right)-x\left(x-2\right)+3x=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-15x-x^2+2x+3x=0\)

\(\Leftrightarrow2x\left(x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x=0\\x-5=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=5\text{(Không thoả mãn)}\end{cases}}}\)

`2.`

\(ĐKXĐ:x\ne-m-2;x\ne m-2\)

Ta có: \(\frac{x+1}{x+2+m}=\frac{x+1}{x+2-m}\left(1\right)\)

a. Khi `m=-3` phương trình `(1)` sẽ trở thành: \(\frac{x+1}{x-1}=\frac{x+1}{x+5}\left(x\ne1;x\ne-5\right)\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x+5}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x-1=x+5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\-1=5\text{(Vô nghiệm)}\end{cases}}}\)

b. Để phương trình `(1)` nhận `x=3` làm nghiệm thì

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{3+1}{3+2-m}=\frac{3+1}{3+2-m}\\3\ne-m-2\\3\ne m-2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{4}{5+m}=\frac{4}{5-m}\\m\ne\pm5\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}5+m=5-m\\m\ne\pm5\end{cases}}\Leftrightarrow m=0\)

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

\(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{2}{x^2-2x}=\dfrac{1}{x}\left(đk:x\ne0,x\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+2\right)x-2}{x\left(x-2\right)}=\dfrac{x^2-2x}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-2=x^2-2x\)

\(\Leftrightarrow4x=2\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

Cho mình sửa lại nhé:

\(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{2}{x^2-2x}=\dfrac{1}{x}\left(đk:x\ne0,x\ne2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+2\right)x-2}{x\left(x-2\right)}=\dfrac{x-2}{x\left(x-2\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-2=x-2\)

\(\Leftrightarrow x^2+x=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(ktm\right)\\x=-1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Dk: x\(\ge0\)

lien hop

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}-\sqrt{x}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}=2\Rightarrow x=1\)

B​ạn có thể giải thích rõ hộ mình dc k???

oh ok mình hiểu r thanks =)))