Lập phương trình CT,TT,TQ của \(\Delta\)
Qua A(2,3) cắt tia Ox , Oy lần lượt tại M,N sao cho 2OM=3ON
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A (1,2) Viết phương trình đường thẳng đi qua cắt hai trục Ox,Oy lần lượt tại M và N( khác O) thỏa mãn ON = 2OM
Đường thẳng đó có phương trình trên đoạn chắn là
\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\) (d)
Do d đi qua A(1; 2) ⇒ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}=1\) (1)
M,N lần lượt là giao điểm của d vs Ox, Oy
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}OM=\left|a\right|\\ON=\left|b\right|\end{matrix}\right.\); Kết hợp giả thiết
⇒ |b| = 2|a|
⇒ \(\left[{}\begin{matrix}a=\dfrac{b}{2}\\a=\dfrac{-b}{2}\end{matrix}\right.\)
Nếu a = \(\dfrac{b}{2}\), kết hợp (1) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=4\end{matrix}\right.\)
Phương trình trên đoạn chắn là \(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{4}=1\)
⇒ Phương trình tổng quát : 2x + y - 4 = 0
Nếu a = \(-\dfrac{b}{2}\) kết hợp (1) không có a,b
Vậy chỉ có 1 đường thẳng thỏa mãn đề bài
Đường thẳng đó có phương trình là
2x + y - 4 = 0
Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2;3) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại hai điểm M,N khác điểm O sao cho OM + ON đạt giá trị nhỏ nhất.
Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Gọi giao điểm của (α) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c) (a, b, c > 0).
Mặt phẳng (α) có phương trình theo đoạn chắn là:
Do (α) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1):
Thể tích của tứ diện OABC là:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
⇒ abc ≥ 27.6 ⇒ V ≥ 27
Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ V = 27
Vậy phương trình mặt phẳng ( α ) thỏa mãn đề bài là:
hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0
Trong mặt phẳng Oxy cho M(2;3). Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B (khác O) sao cho \(S_{\Delta ABC}=12\).
d đi qua M(27,1) cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho AB nhỏ nhất
Viết phương trình đường thẳng d
Gọi `A(a;0) in Ox` và `B(0;b) in Oy`
`AB` nhỏ nhất `<=>M` là trung điểm `AB`
`=>{(x_M=[x_A+x_B]/2),(y_M=[y_A+y_B]/2):}`
`<=>{(27=a/2),(1=b/2):}`
`<=>{(a=54),(b=2):}`
`=>A(54;0) ; B(0;2)`
Có:`\vec{AB}=(-54;2) - ` là vtcp của `d`
`=>` Vtpt của `d` là: `\vec{n}=(1;27)`
Mà `B(0;2) in d`
`=>` Ptr `d` là: `1(x-0)+27(y-2)=0`
`<=>x+27y-54=0`
cho điểm M ( 1 ; 4 ) , viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt 2 tia Ox , tia Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất
Lời giải:
Vì ĐT cần tìm đi qua $M(1,4)$ nên PTĐT có dạng:
$a(x-1)+b(y-4)=0\Leftrightarrow ax+by-(a+4b)=0(d)$ với $a^2+b^2\neq 0$
$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$
$A\in (d)\Rightarrow ax_A+by_A-(a+4b)=0$
$\Leftrightarrow ax_A-(a+4b)=0\Rightarrow x_A=\frac{a+4b}{a}$
$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$
$B\in (d)\Rightarrow ax_B+by_B-(a+4b)=0$
$\Leftrightarrow by_B-(a+4b)=0\Rightarrow y_B=\frac{a+4b}{b}$
Diện tích tam giác $ABC$:
$\frac{OB.OA}{2}=\frac{|y_B|.|x_A|}{2}=|\frac{(a+4b)^2}{ab}|\geq |\frac{(2\sqrt{4ab})^2}{ab}|=16$
Vậy $S_{OAB}$ min $=16$. Giá trị này đạt tại $a=4b$
Thay vào PTĐT $(d)$:
$4bx+by-(4b+4b)=0$
$\Leftrightarrow b(4x+y-8)=0$. Do $a=4b$ và $a^2+b^2\neq 0$ nên $b\neq 0$
$\Rightarrow 4x+y-8=0$
Đây chính là PTĐT cần tìm.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3). Lập phương trình mặt phẳng đi qua M sao cho (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và M là trọng tâm của tam giác ABC
A. x 1 + y 2 + z 3 = 1
B. x 3 + y 6 + z 9 = 0
C. x 3 + y 6 + z 9 = 1
D. 3x+6y+9z=1
Đáp án C
Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Vì M(1;2;3) là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: x 3 + y 6 + z 9 = 1
Đường thẳng d qua M (4; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tổng OA + OB nhỏ nhất. Viết phương trình đường thẳng d
Đề bài sai, tổng OA+OB chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất
Đường thẳng d qua M (4; 1) và cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tổng OA + OB nhỏ nhất. Viết phương trình đường thẳng d
Do d cắt 2 trục, gọi pt d có dạng: \(y=ax+b\) (\(a\ne0\))
d đi qua M nên: \(4a+b=1\Rightarrow b=-4a+1\Rightarrow y=ax-4a+1\)
Hoành độ A là nghiệm: \(ax_A-4a+1=0\Rightarrow x_A=\dfrac{4a-1}{a}\)
Tung độ B là nghiệm: \(y_A=a.0-4a+1=-4a+1\)
Do A; B nằm trên các tia Ox, Oy \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4a-1}{a}>0\\-4a+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a< 0\)
Khi đó ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}OA=x_A=\dfrac{4a-1}{a}\\OB=y_A=-4a+1\end{matrix}\right.\)
\(S=OA+OB=\dfrac{4a-1}{a}-4a+1=5+\left(-4a+\dfrac{1}{-a}\right)\ge5+2\sqrt{\dfrac{-4a}{-a}}=9\)
\(S_{min}=9\) khi \(-4a=\dfrac{1}{-a}\Leftrightarrow a=-\dfrac{1}{2}\)
Phương trình d: \(y=-\dfrac{1}{2}x+3\)