b1: cho tam giác ABC, M là trung điểm BC. vẽ ME vuông góc với AC, MD vuông góc với AB. trên các tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I và K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK. chứng minh: B,I,K,C cùng nằm trên 1 đường tròn.
b2: cho đường tròn (O), đường kính AB. 1 cát tuyến MN quay quanh trung điểm H của OB.
a, chứng minh: khi cát tuyến MN di động thì I của MN luôn nằm trên đường tròn cố định (tâm cố định, bán kính không đổi)
b, từ A kẻ Ax vuông góc với MN, tia By cát Ax tại C. chứng minh: BN=CM
câu a
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống tia phân giác ^BAC. Tam giác ADE có AH vừa là phân giác vùa là đường cao nên cân tại A.
Qua B vẽ BF//CE (F thuộc DE) => tam giác BDF cân tại B => BD = BF (1)
Mặt khác xét 2 tam giác BMF và CME có : BM = CM; ^BMF = ^CME ( đối đỉnh); ^MBF = ^MCE ( so le trong) => tam giác BMF = tg CME => BF = CE (2)
Từ (1) và (2) => đpcm
mấy câu còn lại bó tay
cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Ax và Ay là hai tia thay đổi luôn tạo với nhau góc 60độ và lần lượt cắt đường tròn (O) tại M và N. Đường thẳng BN cắt Ax tại E, đường thẳng BM cắt Ay tại F. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng EF.
a. Chứng minh rằng đoạn thẳng EF có độ dài không đổi
b. Chứng minh rằng OMKN là tứ giác nội tiếp
c. Khi AMN là tam giác đều, gọi C là điểm trên đường tròn (O) khác A, khác N. Đường thẳng qua M và vuông góc với AC cắt NC tại D. Xác định vị trí của điểm C để diện tích am giác MCD là lớn nhất
cho góc xAy =60 độ B thuộc Ax, C thuộc Ay. Vẽ phân giác Az, kẻ BM vuông góc với Az, CN vuông góc với Az, gọi K là giao điểm của BC và Az.Chứng minh
a) so soanhs BM và AB
b)AB+AC bé hơn hoặc bằng 2BC
Ta có :
BC// Ay
ð góc BCA = góc zAy
hay góc BAK = góc BCK = góc xAy/2 = 60 độ /2 = 30 độ ( Vì Az là tia phân giác góc xAy)
Xét tam giác BKA và tam giác BKC có :
Góc AKB = Góc CKB (=90 độ)
Cạnh BK chung
Góc BAK = góc BCK
ð tam giác BKA = tam giác BKC ( Cạnh góc vuông - góc nhọn)
ð AK = CK ( hai cạnh tương ứng )
ð K là trung điểm cạnh AC
b,Xét tam giác BAK có:
góc BAK + góc BKA + góc KBA = 180 độ
=>30 độ + 90 độ + góc KBA = 180 độ
Góc KBA = 180 độ - 90 độ -30 độ
Góc KBA = 60 độ
Xét tam giác BAH và tam giác ABK có :
Góc BHA = góc BKA (=90 độ)
AB là cạnh chung
Góc BAH = góc ABK ( = 60 độ)
ð tam giác BAH = tam giác ABK (cạnh huyền - góc nhọn)
ð BH = AK ( hai cạnh tương ứng)
Mà AK = CK
ð BH = AK = CK
Hay BH = AC/2
c,Kẻ trung tuyến KH’ ( Trung tuyến vừa là đường cao vừa là đường trung trực )
Xét tam giác KH’A và tam giác KH’M có:
góc A KH’ = góc MKH’( ta dựng)
cạnh KH’ là cạnh chung
góc AH’K = góc MH’ K
ð tam giác KH’A = tam giác KH’M(g.c.g)
ð góc KAH’ = góc KMH’ = 30 độ (Vì góc KAH’ = 30 độ)
Ta có : góc CMK + góc KMH’ = 90 độ
Hay góc CMK + 30 độ = 90 độ
ð góc CMK = 90 độ - 30 độ
ð góc CMK = 60 độ
Vì BC // Ay
Mà góc AMC = 90 độ
ð góc BCM = 90 độ
Ta lai có :
Tam giác BKA = tam giác BKC (theo câu a)
=> góc BAK = góc BCK (2 góc tương ứng)
Mà góc BAK = 30 độ
=> góc BAK = Góc BCK = 30 độ
Ta lại có :
Góc BCM = góc BCK + góc KCM
90 độ = 30 độ + góc KCM
=> góc KCM = 90 độ - 30 độ
=> góc KCM = 60 độ
Xét tam giác KMC có :
Góc KMC + góc KCM + góc CKM = 180 độ
Hay 60 độ + 60 độ + góc CKM = 180 độ
120 độ + góc CKM = 180 độ
=> góc CKM = 180 độ - 120 độ
=> góc CKM = 60 độ
Mà các góc của tam giác KMC đều bằng 60 độ
=> Tam giác KMC là tam giác đều
mình nhanh nhất nha !!!
Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau nhận AB làm đoạn vuông góc chung. Gọi M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax và By sao cho AM + BN = MN.
Đặt AB = 2a, gọi O là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc điểm O trên đường thẳng MN
a) Chứng minh rằng OH = a, HM = AN, HN = BN.
b) Gọi Bx' là tia song song và cùng chiều với tia Ax và K là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Bx'; By). Chứng minh BK là phân giác của góc ∠x'By.
C. Chứng minh điểm H nằm trên một đường tròn cố định.
Theo giả thiết ta có M và N là hai điểm di động lần lượt trên hai tia Ax và By sao cho AM + BN = MN.
a) Kéo dài MA một đoạn AP = BN, ta có MP = MN và OP = ON.
Do đó ΔOMP = ΔOMN (c.c.c)
⇒ OA = OH nên OH = a.
Ta suy ra HM = AM và HN = BN.
b) Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (Bx’, By) ta có:
HK // MM’ với K ∈ NM’.
Do đó đối với tam giác BNM’ đường thẳng BK là phân giác của góc (x'By) .
c) Gọi (β) là mặt phẳng (AB, BK). Vì HK // AB nên HK nằm trong mặt phẳng (β) và do đó H thuộc mặt phẳng (β). Trong mặt phẳng (β) ta có OH = a. Vậy điểm H luôn luôn nằm trên đường tròn cố định, đường kính AB và nằm trong mặt phẳng cố định (β) = (AB, BK)
cho hình vuông abcd. mội góc vuông xAy quay quanh A, cạnh Ax cắt BC ở Q và cạnh Ay cắt CD tại N . tia phân giác của góc xAy cắt CD tại P.
a) chứng minh khi Q chạy trên BC thì chu vi tam giác CPQ không đổi
b) chứng minh PQ luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định
Cho góc xAy=90, M cố định trong góc xAy, 1 góc vuông đỉnh M, các cạnh cắt Ax, By tại B,C. Tìm quỹ tích trung điểm I của BC khi góc BMC quay quanh M
Cho góc xAy = 50 độ. Trên tia đối của Ax, lấy điểm B, vẽ tia Bt sao cho Ay nằm trong góc xBt
a/ Để có Bt song song với thì số đo góc xOt là bao nhiêu?
b/ Vẽ tia AM, BN lần lượt là tia phân giác của các góc xAy và xBt. CMR AM song song với BN.
Cho mặt cầu S(O;R) và (P) cách O một khoảng bằng h (0<h<R). Gọi (L) là đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và (P) có bán kính r. Lấy A là một điểm cố định thuộc (L). Một góc vuông xAy trong (P) quay quanh điểm A. Các cạnh Ax, Ay cắt (L) ở C và D. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) cắt mặt cầu ở B. Diện tích ΔBCD lớn nhất bằng
A. 2 r r 2 + 4 h 2
B. r r 2 + 4 h 2
C. r r 2 + h 2
D. 2 r r 2 + h 2
Cho mặt cầu S (O;R) và (P) cách O một khoảng bằng h (0 <H<R) . Gọi (L) là đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và (P) có bán kính r. Lấy A là một điểm cố định thuộc (L). Một góc vuông xAy trong (P) quay quanh điểm A. Các cạnh Ax, Ay cắt (L) ở C và D. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P) cắt mặt cầu ở B. Diện tích tam giác BCD lớn nhất bằng:
