Đề sai. Nếu chỗ căn vế phải mà là căn bậc 3 thì t sol cho

Áp dụng BĐT Cô si cho ba số dương. Ta có:

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\sqrt[3]{\left[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\right]}\)(1)

\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{1}{abc}\)

\(\ge1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{abc^2}}+\frac{1}{abc}\)

\(=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\);     (2)

\(2+abc=1+1+abc\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}>\frac{3}{2+abc}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra được đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = 1

  P/s: Bài này trong toán tuổi thơ có hướng dẫn sơ sơ nên đơn giản thôi bạn

Sửa lại chỗ: \(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}>\frac{3}{2+abc}\) thành \(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{2+abc}\) nhé!

Đánh máy nhanh quá nên nhầm :)

bài 2 thì bạn áp dụng bdt cô si với lựa chọn điểm rơi  hoặc bdt holder  ( nó giống kiểu bunhia ngược ) . bai 1 thi ap dung cai nay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{1}{x+y}\)  câu 1 khó hơn nhưng bạn biết lựa chọn điểm rơi với áp dụng bdt phụ kia là ok .

Bài 1:Đặt VT=A

Dùng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)x,y,z>0\)

Áp dụng vào bài toán trên với x=a+c;y=b+a;z=2b ta có:

\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)

Tương tự với 2 cái còn lại

\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow A\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c 

Bài 2:

Biến đổi BPT \(4\left(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\right)\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)

Dự đoán điểm rơi xảy ra khi a=b=c=1

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)

Tương tự suy ra

\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\ge\frac{2\cdot3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}\)

đã làm ra . cứ tách ra thành 1/(á+1) và 2/(á+1)^2 rồi thêm bớt a+1 /4 và (á+1)^2/16 rồi cosi từng cái theo thứ tự trên . sau đó cosi cái phần bớt đi là đc . bva c tương tự