Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}2^a=x>0\\2^b=y>0\\2^c=z>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xyz=2^a.2^b.2^c=2^{a+b+c}=1\)

BĐT cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\) với \(xyz=1\)

Ta có:

\(x^3+1+1\ge3x\) ; \(y^3+1+1\ge3y\) ; \(z^3+1+1\ge3z\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3\ge\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)-6\ge x+y+z+6-6=x+y+z\)

Vì \(a+c=2b;dc+bc=2bd\Rightarrow\frac{dc+bc}{a+c}=\frac{2bd}{2b}=d\)

\(\Rightarrow bc+dc=\left(a+c\right)d=ad+dc\Rightarrow bc=ad\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\Rightarrow\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^8=\left(\frac{a}{b}\right)^8\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^8=\left(\frac{c}{d}\right)^8=\frac{a^8+c^8}{b^8+d^8}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^8=\frac{a^8+b^8}{c^8+d^8}\)

Nếu sửa đề lại thì giải theo cách này nhé :v

\(a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}+6\ge15\)

\(\Leftrightarrow a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}\ge9\)

Theo BĐT Bu - nhi - a - cốp xki ta có :

\(\left(a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c+24\right)=27\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}\le\sqrt{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Do đó ta chỉ cần chứng minh :

\(\sqrt{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Theo BĐT Cô - Si dưới dạng en-gel ta có :

\(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{3^2}{3}=3\)

Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Đúng là đề bài khó wá hihi =)))

deoi cho a;b;c>0 hay gi a

easy

\(VT\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)^2c}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2+\left(b+c\right)^2c}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2+\left(c+a\right)^2b}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4}\)

\(=\frac{8}{\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2\left(a+1\right)}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2\left(b+1\right)}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+\frac{\left(b+c\right)^2}{4}+\frac{\left(c+a\right)^2}{4}\)

đến đây ghép rồi dùng cô si

bài này trong đề thi của tỉnh nào đó ở nước nào đó ở hành tinh nào đó năm 2016-2017

bạn làm luôn khúc sau dùm mik nhé, mik ko hiểu

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau \(4ab\le\left(a+b\right)^2\). Như vậy thì:\(\frac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}\ge\frac{8}{\left(a+b\right)^2+c\left(a+b\right)^2}\)\(=\frac{8}{\left(c+1\right)\left(a+b\right)^2}\)

 Lại có \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)nên \(\frac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2}\)\(\ge\frac{8}{\left(c+1\right)\left(a+b\right)^2}+\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}\)(Theo BĐT AM - GM)

Lại áp dụng BĐT AM - GM, ta được: \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{c+1}}=\frac{8}{2\sqrt{2\left(c+1\right)}}\ge\frac{8}{c+3}\)

Từ đó suy ra \(\frac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}+\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{8}{c+3}\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{8}{\left(b+c\right)^2+4abc}+\frac{b^2+c^2}{2}\ge\frac{8}{a+3}\)(2) ; \(\frac{8}{\left(c+a\right)^2+4abc}+\frac{c^2+a^2}{2}\ge\frac{8}{b+3}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{8}{\left(a+b\right)^2+4abc}+\frac{8}{\left(b+c\right)^2+4abc}+\frac{8}{\left(c+a\right)^2+4abc}\)\(+a^2+b^2+c^2\ge\frac{8}{a+3}+\frac{8}{b+3}+\frac{8}{c+3}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bạn ơi bạn vô câu hỏi tương tự xem nhé

Học tốt

Tham khảo nhé!

>>https://olm.vn/hoi-dap/detail/80507618602.html

#)Giải :

Ta có : \(c\left(b+d\right)=2bd\Rightarrow bc+cd=2bd\Rightarrow\frac{bc+cd}{a+c}=\frac{2bd}{2b}=d\)

\(\Rightarrow bc+cd=ad+cd\Rightarrow bc=ad\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(\frac{a}{b}\right)^8=\left(\frac{c}{d}\right)^8=\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^8=\frac{a^8}{b^8}\\\left(\frac{a}{b}\right)^8=\left(\frac{c}{d}\right)^8=\frac{a^8}{b^8}=\frac{c^8}{d^8}=\frac{a^8+c^8}{b^8+c^8}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^8=\frac{a^8+b^8}{c^8+d^8}\left(đpcm\right)\)

Từ \(c\left(b+d\right)=2bd\Rightarrow b+d=\frac{2ab}{c}\)

Viết : \(\frac{a+c}{b+d}=\frac{2ab}{2bd}=\frac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)

Đến đây bn chỉ cần biến đổi để có điều phải chứng minh 

hc tốt 

tròi oi bn cứu mk rồi :(( 

cám ơn ơn bn nhiều lắm khi nào có bài khó mk sẽ nhờ bn giúp ạ !!!

Đề bài sai

Ví dụ với \(a=b=c=0,1\)

Đề sai. Bạn thử với $a=b=c=0,1$ sẽ thấy.