Nếu sửa đề lại thì giải theo cách này nhé :v
\(a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}+6\ge15\)
\(\Leftrightarrow a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}\ge9\)
Theo BĐT Bu - nhi - a - cốp xki ta có :
\(\left(a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c+24\right)=27\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a\sqrt{a+8}+b\sqrt{b+8}+c\sqrt{c+8}\le\sqrt{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh :
\(\sqrt{27\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Theo BĐT Cô - Si dưới dạng en-gel ta có :
\(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{b^2}{1}+\dfrac{c^2}{1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\dfrac{3^2}{3}=3\)
Vậy BĐT đã được chứng minh . Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho mình hỏi đề có cho a , b ,c là các số dương hay ko ?
