a) Nhân cả tử và mẫu với 2.4.6...40 ta được :

\(\frac{1.3.5...39}{21.22.23...40}\)=\(\frac{\left(1.3.5...39\right)\left(2.4.6..40\right)}{\left(21.22.23...40\right)\left(2.4.6...40\right)}\)

= \(\frac{1.2.3...39.40}{21.22.23...40.\left(1.2.3...20\right).2^{20}}\)

=\(\frac{1}{2^{20}}\)

b) Nhân cả tử và mẫu với 2.4.6...2n rồi biến đổi như câu a.

Ta có: \(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{20}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{20}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{20}\right)=\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}+\frac{1}{20}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{10}\right)=\)

= 1/11 + 1/12 +1/13+...+1/20 (đpcm)

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức AM-MG ta có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab};\dfrac{a+c}{2}\ge\sqrt{ac};\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{b+c}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right).2}{2}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

Bài 1:(ĐK: a,b,c cùng dấu)

BĐT(1)<=>\(2a+2b+2c\ge2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}\)

<=>\(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+\left(b-2\sqrt{bc}+c\right)+\left(c-2\sqrt{ca}+a\right)\ge0\)

<=>\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{c}-\sqrt{a}\right)^2\ge0\), đúng

=> BĐT cần CM đúng.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Bài 2:(ĐK: a,b,c cùng dấu và đồng thời khác 0)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=x\\\dfrac{1}{b}=y\\\dfrac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\)

BĐT(2)<=> \(x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\), luông đúng do BĐT từ bài 1.

=> BĐT cần CM đúng.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

Ta có A<1/1.2+1/2.3+1/3.4+....+1/19.20

A<1-1/2=1/2-1/3+..+1/19-1/20

A<1-1/20=19/20

Ta có 19/20<19/22(so sánh 2 phân số cùng tử)=>A<19/22  (1)

Ta có A>1/2.3+1/3.4+...+1/20.21

A>1/2-1/3+1/3-1/4+........+1/20-1/21

A>1/2-1/21=20/42

Ta có 20/42>19/42(so sánh 2 phân số cùng mẫu)=>A>19/42  (2)

Từ (1) và (2) =>19/42<A<19/22