Câu đầu tiên của đề bài là "Với mọi \(n\inℤ^+\)..." chứ không phải \(m\) nhé, mình gõ nhầm.

a) Ta phân tích \(n=x_1^{a_1}.x_2^{a_2}...x_m^{a_m}\) (với \(x_1;x_2;..x_n\) là số nguyên tố ;

\(a_1;a_2;..a_m\inℕ^∗\) và là số mũ tối đa của mỗi số nguyên tố ) 

Khi đó ta có \(\sigma\left(n\right)=\left(a_1+1\right)\left(a_2+1\right)...\left(a_m+1\right)\)

mà \(\sigma\left(n\right)\) lẻ \(\Leftrightarrow\) \(a_1+1;a_2+1;...a_m+1\) lẻ

\(\Leftrightarrow a_1;a_2;..a_m\) chẵn

\(\Leftrightarrow n\) là số chính phương 

=> n luôn có dạng \(n=l^2\) 

Mặt khác  \(x_1;x_2;..x_m\) là số nguyên tố 

Nếu  \(x_1;x_2;..x_m\) đều là số nguyên tố lẻ thì l lẻ

<=> r = 0 nên n = 2^r.l² đúng (1) 

Nếu  \(x_1;x_2;..x_m\) tồn tại 1 cơ số \(x_k=2\) 

TH1 :  \(a_k\) \(⋮2\) 

\(\Leftrightarrow a_k+1\) lẻ => \(\sigma\left(n\right)\) lẻ (thỏa mãn giả thiết)

=> n có dạng n = 2^r.l² (r chẵn , l lẻ)(2) 

TH2 : a_k lẻ

Ta dễ loại TH2 vì khi đó \(a_k+1⋮2\)  nên \(\sigma\left(n\right)⋮2\) (trái với giả thiết) 

Nếu  \(n=2^m\) (m \(⋮2\)) thì r = m ; l = 1 (tm) (3)

Từ (1);(2);(3) => ĐPCM 

Ta có : \(A=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

Đặt : \(n^2+3n=k\)\(\Rightarrow A=k\left(k+2\right)=k^2+2k\)

Ta có : \(\left(k+1\right)^2=\left(k+1\right)\left(k+1\right)\)

\(=k\left(k+1\right)+1\left(k+1\right)\)

\(=k^2+k+k+1=k^2+2k+1\)

Do : \(n\inℕ^∗\Rightarrow n^2+3n>0\)hay : \(k>0\)

\(\Rightarrow k^2+2k>k^2\)

Ta có : \(k^2< k^2+2k< k^2+2k+1\)

hay : \(k^2< k^2+2k< \left(k+1\right)^2\)

Do : \(k^2\)và \(\left(k+1\right)^2\)là hai số chính phương liên tiếp

\(\Rightarrow k^2+2k\)không phải là số chính phương

\(Giai\)

\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(\text{Đặt:n2+3n=t}\)

\(A=t\left(t+2\right)=\left(t+1\right)^2-1\)

Đến đây cậu đã làm được chưa ạ?

Mình nghĩ là lm thế này :

A+1=n.(n+1).(n+2).(n+3)+1=n.(n+3).(n+1).(n+2)+1=(n^2+3n).(n^2+3n+2)+1   (1)

Đặt n^2+3n=t (t thuộc N) thì (1) =t.(t+2)+1=t^2+2t+1=(t+1)^2=(n^2+3n+1)^2

Vì n thuộc N nên => n^2+3n+1 thuộc N

Vậy A+1 là số chính phương.

Do đó A không phải số chính phương

Mình quên không nói là đề bài yêu cầu chứng minh 2 bổ đề trên.