n^2(n-3)-(n-3)=(n-3)(n^2-1)=(n-3)(n-1)(n+1)

Có: (n-1)(n+1) là tích 2 số chắn liên tiếp=> (n-1)(n+1) chia hết cho 8

n lẻ=> n-3 chẵn=> n-3 chia hết cho 2

=> (n-3)(n-1)(n+1) chia hết cho 2*8=16(1)

Mặt khác n^3-3n^2-n+3 = n(n^2-1)-3(n^2-1)=n(n-1)(n+1)-3(n^2-1)

thấy n(n-1)(n+1) là tích 3 stn liên tiếp => n(n-1)(n+1) chia hết cho 3

lại có: 3(n^2-1) chia hết cho 3

=> n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 3(2)

(1)(2)=>n^3-3n^2-n+3 chia hết cho 48

n^3-3n^2-n+3=(n^3-n)-3(n^2-1)=n(n^2-1)-3(n^2-1)=(n-3)(n-1)(n+1)

n lẻ nên có dạng n=2k+1 (k \(\in N\)) thay vào trên ta được

(2k-2)2k(2k+2)=8(k-1)k(k+1) chia hết cho 48 nếu (k-10k(k+10 chia hết cho 6

Thật vậy

(k-1)k(K+1) là 3 số liên tiếp nên luôn tồn tại một số chia hết cho 3

(k-1)k(k+1) cũng luôn tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2

vậy (k-1)k(k+1) chia hết cho 6 (chứng minh xong)

a) \(n^2+4n+3\)

Vì n là số lẻ nên n : 2 dư 1

Gọi n = 2k + 1

Thay n = 2k + 1 vào \(n^2+4n+3\)

Có : \(n^2+4n+3\) \(=n^2+3n+n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)= ( n + 3 ) ( n + 1 ) (1)

Thay n = 2k + 1 vào (1)

=> (1) = \(\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)

\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)

Xét: k + 2; k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

=> \(\left(k+2\right)\left(k+1\right)\) \(⋮2\)

=> \(4\left(k+2\right)\left(k+1\right)⋮8\)

=> đpcm

a) Ta có:

\(n^2+4n+3\)

\(=n^2+n+3n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Mà n là số nguyên lẻ nên chia cho 2 dư 1 = 2k + 1 \(\left(k\in Z\right)\)

Do đó \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Mà \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.

Vậy \(n^3+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 4; chi hết cho 2.

=> \(n^3+4n+3⋮4.2=8\)

Vậy ...

b) Ta có:

\(n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-3\right)\)

Thay n = 2k +1, ta được:

\(\left(2k+1+1\right)\left(2k\right)\left(2k-2\right)\)

\(=2k.2.2.k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\)

\(=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

Mà k-1 ; k ; k+1 là 3 số nguyên liên tiếp, mà 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

\(\Rightarrow8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)⋮6.8=48\)

Vậy ...

a,        n^2+4n+3 = (n^2-1) +4n+4 = (n-1)(n+1) +4(2a+1)+4 = (n-1)(n+1)+8a+4+4

=(n-1)(n+1)+8a+8 = (n-1)(n+1) + 8.(a+1) 

vì n là lẻ => (n-1) và (n+1) là hai số chẵn liên tiếp => (n-1)(n+1)*8

và 8(a+1)*8 => (n-1)(n+1) + 8.(a+1) *8

vậy n^2+4n+3*8 với n là lẻ ( dấu * là dấu chia hết nhé)

b,           n^3+3n^2-n-3 = (n^3-n) + (3n^2-3) = n(n^2-1) + 3(n^2-1)= n.(n-1)(n+1) + 3.(n-1)(n+1)

=>3(n-1)(n+1) *8 và n(n-1)(n+1)*8 ( vì theo nguyên lý câu a thì (n-1)(n+1)*8  )        (1)

vì n;n-1;n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 và 2 => n(n-1)(n+1)*6

và 3(n-1)(n+1)*3 mà n-1 là chẵn nên 3(n-1)(n+1)*2  => 3(n-1)(n+1)*6 

=> n(n-1)(n+1) + 3(n-1)(n+1) *6                 (2)

từ (1) và (2) => n(n-1)(n+1) + 3(n-1)(n+1) * 6.8 = 48 hay n^3+3n^2-n-3*48

vậy với n là lẻ thì n^3+3n^2 -n-3 luôn chia hết cho 48

a) thay 2k+1 vào biểu thức ta có

a)=4k^2+4k+1+8k+4+3

=4k(k+1) + 8k +8

có: k(k+1) là 2 số nguyên liên tiếp => chia hết cho 2 => 4k(k+1) chia hết cho 8

có: 8k;8 chia hết 8

=>n^2+4n+3 chia hết cho 8

b.Câu hỏi của Hàn Vũ Nhi - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

\(a,n^5-5n^3+4n\)

\(=n\left(n^4-5n^2+4\right)\)

\(=n\left(n^4-n^2-4n^2+4\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n^2-1\right)-4\left(n^2-4\right)\right]\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2;3;4;5\)\(\Rightarrow\) \(\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮120\) Hay \(n^5-5n^3+4⋮120\)

A = n³-3n²-n+3 = n²(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
Vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A \(⋮\) 16(1)
mặt khác:
A = n³-3n²-n+3 = n³ - n - 3(n² - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n²-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) 3 => A \(⋮\) 3
n = 3k + 1 => (n -1) \(⋮\) 3 => A \(⋮\) 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 \(⋮\) 3
=> A \(⋮\) 3 (2)

Từ (1) và (2) => A \(⋮\) 3.16 = 48 (3; 16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).

Ta có:

\(n^3-3n^2-n+3\)

\(=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-3\right)\)

Thay \(n=2k+1\), ta có:

\(\left(2k+1+1\right)\left(2k\right)\left(2k-2\right)\)

\(=2k.2.2.k.\left(k+1\right)\left(k-1\right)\)

\(=8\left(k-1\right)k.\left(k+1\right)\)

Ta thấy k, k-1 ; k+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp, mà 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6.

=> \(n^3-3n^2-2+3⋮48\) với mọi số n lẻ.

Vậy ...

Câu hỏi của Lưu Thanh Vy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khaoe link trên.