Question

Chứng minh rằng: n³-3n²-n+3 chia hết cho 48 với mọi số lẻ n

Answer 1

A = n³-3n²-n+3 = n²(n - 3) - (n-3) = (n -3)(n-1)(n+1)
Vì n lẻ nên:
(n-1)(n+1) là tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
(n - 3) là số chẵn chia hết cho 2
=> A \(⋮\) 16(1)
mặt khác:
A = n³-3n²-n+3 = n³ - n - 3(n² - 1) = n(n+1)(n-1) - 3(n²-1)
xét các trường hợp:
n = 3k => n(n+1)(n-1) 3 => A \(⋮\) 3
n = 3k + 1 => (n -1) \(⋮\) 3 => A \(⋮\) 3
n = 3k + 2 => (n+1) = 3k + 3 \(⋮\) 3
=> A \(⋮\) 3 (2)

Từ (1) và (2) => A \(⋮\) 3.16 = 48 (3; 16 là 2 số nguyên tố cùng nhau).

Answer 2

Ta có:

\(n^3-3n^2-n+3\)

\(=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-3\right)\)

Thay \(n=2k+1\), ta có:

\(\left(2k+1+1\right)\left(2k\right)\left(2k-2\right)\)

\(=2k.2.2.k.\left(k+1\right)\left(k-1\right)\)

\(=8\left(k-1\right)k.\left(k+1\right)\)

Ta thấy k, k-1 ; k+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp, mà 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 6.

=> \(n^3-3n^2-2+3⋮48\) với mọi số n lẻ.

Vậy ...