AB=7cm

a) Ta có: \(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(AB=\dfrac{4}{5}BC\)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC=30\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow AB=\dfrac{4}{5}\cdot BC=\dfrac{4}{5}\cdot30=24\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có BD là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)

hay \(\dfrac{AD}{24}=\dfrac{CD}{30}\)

mà AD+CD=AC=18cm(gt)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{24}=\dfrac{CD}{30}=\dfrac{AD+CD}{24+30}=\dfrac{18}{54}=\dfrac{1}{3}\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}AD=\dfrac{1}{3}\cdot24=8\left(cm\right)\\CD=\dfrac{1}{3}\cdot30=10\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: AD=8cm; CD=10cm

b) Xét ΔHAC vuông tại A và ΔHEB vuông tại E có 

\(\widehat{AHC}=\widehat{EHB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHAC\(\sim\)ΔHEB(g-g)

c) Xét ΔAFB vuông tại A và ΔAHC vuông tại A có 

\(\widehat{ABF}=\widehat{ACH}\left(=90^0-\widehat{AFB}\right)\)

Do đó: ΔAFB\(\sim\)ΔAHC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AF}{AH}=\dfrac{AB}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AF\cdot AC=AB\cdot AH=AB\cdot\dfrac{1}{3}AB=\dfrac{1}{3}AB^2\)(đpcm)