Chứng minh phương trình: (n+2)x^2+2x-n(n+1)(n+3)=0 luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n.
Những câu hỏi liên quan
1. Chứng minh rằng phương trình (n+1)x2 +2x-n(n+2)(n+3)=0 ( x là ẩn , n là tham số ) luôn có nghiệm hữu tỉ với mọi số nguyên n .
2. Giải phương trình \(5\sqrt{1+x^3}\)=2(x2+2)
\(2\left(x^2+2\right)=5\sqrt{x^3+1}\left(1\right)\)
\(\text{ĐKXĐ}:x^3+1\ge0\Leftrightarrow x\ge-1\)
(*) <=> 4(x2 + 2)2 = 25( x3 + 1 )
<=> 4( x4 + 4x2 + 4 ) = 25(x3 + 1)
<=> 4x4 + 16x2 + 16 = 25x3 + 25
<=> 4x4 - 25x3 + 16x2 - 9 = 0
<=> 4x4 - 5x3 - 20x3 + 3x2 + 25x2 - 12x2 + 15x - 15x - 9 = 0
<=> 4x4 - 5x3 + 3x2 - 20x3 + 25x2 - 15x - 12x2 + 15x - 9 = 0
<=> x2( 4x2 - 5x + 3 ) - 5x( 4x2 - 5x + 3 ) - 3(4x2 - 5x + 3 ) = 0
<=> ( x2 - 5x - 3)( 4x2 - 5x + 3 ) = 0
tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy
\(\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
(*) <=> 4(x2 + 2)2 = 25( x3 + 1 )
<=> 4( x4 + 4x2 + 4 ) = 25(x3 + 1)
<=> 4x4 + 16x2 + 16 = 25x3 + 25
<=> 4x4 - 25x3 + 16x2 - 9 = 0
<=> 4x4 - 5x3 - 20x3 + 3x2 + 25x2 - 12x2 + 15x - 15x - 9 = 0
<=> 4x4 - 5x3 + 3x2 - 20x3 + 25x2 - 15x - 12x2 + 15x - 9 = 0
<=> x2( 4x2 - 5x + 3 ) - 5x( 4x2 - 5x + 3 ) - 3(4x2 - 5x + 3 ) = 0
<=> ( x2 - 5x - 3)( 4x2 - 5x + 3 ) = 0
tới đây delta hoặc vi-ét thì tùy
$\Leftrightarrow x=\frac{5+\sqrt{37}}{2}$⇔x=5+√372
$\Leftrightarrow x=\frac{5-\sqrt{37}}{2}$⇔x=5−√372
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho phương trình x2 - (2n - 1)x + n (n - 1) =0 (1) với n là tham số
a) Cm phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi n.
b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình (1) (với x1 < x2). Chứng minh: x21 - 2x2 + 3 > hoặc = 0
cho phương trình \(x^2+mx+n-3=0\)
a, cho n = 0, chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b,tìm m và n để 2 nghiệm \(x_1;x_2\) của phương trình (i) thoả mãn \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1^2-x_2^2=7\end{matrix}\right.\)
\(\Delta=m^2+12>0\) ; \(\forall m\)
\(\Rightarrow\) Khi \(n=0\) thì pt có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=n-3\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1^2-x_2^2=7\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)=7\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=4\\x_2=3\end{matrix}\right.\)
Thế vào hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}4+3=-m\\4.3=n-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-7\\n=15\end{matrix}\right.\)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho các phương trình x^2+mx+ n và x^2+px+q trong đó m,n,p,q là các số hữu tỉ sao cho (m-p)^2+(n-q)^2 > 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình có một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của hai phương trình là hai số hữu tỉ phân biệt
cho các phương trình x^2+mx+n và x^2+px+q trong đó m,n,p,q là các số hữu tỉ sao cho (m-p)^2+(n-q)^2 > 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình có một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của hai phương trình là hai số hữu tỉ phân biệt
cho các phương trình x^2+mx+ n và x^2+px+q trong đó m,n,p,q là các số hữu tỉ sao cho (m-p)^2+(n-q)^2 > 0. Chứng minh rằng nếu hai phương trình có một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của hai phương trình là hai số hữu tỉ phân biệt
Cho phương trình \(x^2-\left(n-2\right)x-3\) ( n là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm \(x_1;x_2\) với mọi n. Tìm n để các nghiệm thoả mãn hệ thức:
\(\sqrt{x^2_1+2018}-x_1=\sqrt{x^2_2+2018}+x_2\)
\(\Delta=\left(n-2\right)^2+12>0\) ; \(\forall n\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi n
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=n-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(\sqrt{x_1^2+2018}-x_2=\sqrt{x_2^2+2018}+x_1\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2-2x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1^2+x_2^2+2018+2x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)
\(\Rightarrow-x_2\sqrt{x_1^2+2018}=x_1\sqrt{x_2^2+2018}\)
\(\Rightarrow x_2^2\left(x_1^2+2018\right)=x_1^2\left(x_2^2+2018\right)\)
\(\Rightarrow x_1^2=x_2^2\Rightarrow x_1=-x_2\) (do \(x_1;x_2\) trái dấu)
\(\Rightarrow x_1+x_2=0\Rightarrow n-2=0\Rightarrow n=2\)
Thử lại với \(n=2\) thấy đúng. Vậy...
Đúng 1
Bình luận (1)
Chứng minh phương trình:
\(x^n-\left(m+1\right)x-1=0\) luôn có ít nhất một nghiệm với mọi tham số m biết n là số tự nhiên lẻ và \(n\ge3\)
Đặt \(f\left(x\right)=x^n+\left(m+1\right)x-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^n-\left(m+1\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại một số thực \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=+\infty>0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại một số thực \(b>0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên (a;b) hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm
Đúng 0
Bình luận (0)
- Bài1: Cho phương trình: x2+mx+n=0; m,n thuộc Z.
a. CMR nếu phương trình có 2 nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó phải nguyên.
b. Tìm nghiệm hữu tỉ với n=3
Bài 2 Tìm n thuộc Z để nghiệm của pt sau là số nguyên
x2-(4+n)x+2n=0