Cho ba số thực x, y, z dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}}{3x+y+5z}+\dfrac{\sqrt{2y^2+2yz+5z^2}}{3y+z+5x}+\dfrac{\sqrt{2z^2+2xz+5x^2}}{3z+x+5y}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5z^2+2xz+2x^2}}\)
\(5x^2+2xy+2y^2-\left(4x^2+4xy+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow5x^2+2xy+2y^2\ge4x^2+4xy+y^2=\left(2x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{2y+z}+\dfrac{1}{2z+x}=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{9}{x+x+y}+\dfrac{9}{y+y+z}+\dfrac{9}{z+z+x}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}=\sqrt{4x^2+2xy+y^2+x^2+y^2}\ge\sqrt{4x^2+2xy+y^2+2xy}=2x+y\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}\le\dfrac{1}{2x+y}=\dfrac{1}{x+x+y}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{5z^2+2zx+2x^2}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(x=y=z=1\)
Cho x,y,z > 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(P=\dfrac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\dfrac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\dfrac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)
Ta có: \(5x^2+6xy+5y^2=4\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge4\left(x+y\right)^2\)
tương tự: \(5y^2+6yz+5z^2\ge4\left(y+z\right)^2\) ;\(5z^2+6xz+5z^2\ge4\left(x+z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}+\dfrac{2\left(y+z\right)}{y+z+2x}+\dfrac{2\left(x+z\right)}{x+z+2y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{P}{2}\ge\dfrac{x+y}{x+y+2z}+\dfrac{y+z}{y+z+2x}+\dfrac{x+z}{x+z+2y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{P}{2}\ge\dfrac{x+y}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}+\dfrac{y+z}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{x+z}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)Theo BDT Nesbit
\(\dfrac{x+y}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}+\dfrac{y+z}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\dfrac{x+z}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(\dfrac{P}{2}\ge\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow P\ge3\)
Min P = 3 khi x = y = z
Cho x,y,z>0 . Tìm GTNN của biểu thức :
\(P=\dfrac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\dfrac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\dfrac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)
Lời giải:
Ta có: \(5x^2+6xy+5y^2=3(x^2+y^2+2xy)+2(x^2+y^2)\)
\(=3(x+y)^2+2(x^2+y^2)\geq 3(x+y)^2+(x+y)^2\) (theo BĐT AM-GM)
\(\Leftrightarrow 5x^2+6xy+5y^2\geq 4(x+y)^2\Rightarrow \sqrt{5x^2+6xy+5y^2}\geq 2(x+y)\)
Thực hiện tương tự với những biểu thức còn lại suy ra:
\(P\geq \frac{2(x+y)}{x+y+2z}+\frac{2(y+z)}{y+z+2x}+\frac{2(z+x)}{z+x+2y}\)
\(P\geq 2\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)=2\left(\frac{(x+y)^2}{(x+y+2z)(x+y)}+\frac{(y+z)^2}{(y+z+2x)(y+z)}+\frac{(z+x)^2}{(z+x+2y)(z+x)}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P\geq 2.\frac{(x+y+y+z+z+x)^2}{(x+y+2z)(x+y)+(y+z+2x)(y+z)+(z+x+2y)(z+x)}\)
\(\Leftrightarrow P\geq 2. \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{4(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+xz}\)
\(\geq \frac{4(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=3\) (theo AM-GM \(xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\))
Vậy \(P\geq 3\Leftrightarrow P_{\min}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)
chứng minh \(\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}+\dfrac{y^3}{2y+3z+5x}+\dfrac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\dfrac{1}{30}\)
đặt\(A=\dfrac{x^3}{2x+3y+5z}+\dfrac{y^3}{2y+3z+5x}+\dfrac{z^3}{2z+3x+5y}\)
\(=>A=\dfrac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\dfrac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\dfrac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)
BBDT AM-GM
\(=>A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)
theo BDT AM -GM ta chứng minh được \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
vì \(x^2+y^2\ge2xy\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(x^2+z^2\ge2xz\)
\(=>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)< =>xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)
\(=>2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(=>A\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{10}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{10}=\dfrac{1}{30}\left(đpcm\right)\)
dấu"=" xảy ra<=>x=y=z=1/3
Cho x,y,z > 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)
cm bđt phụ \(5x^2+6xy+5y^2\ge4\left(x+y\right)^2\)nhé
Ta có: \(\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}=\sqrt{4\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{4\left(x+y\right)^2}=2\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}\ge\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)(1)
Tương tự, ta có: \(\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}\ge\frac{2\left(y+z\right)}{y+z+2x}\)(2); \(\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\ge\frac{2\left(z+x\right)}{z+x+2y}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)\(\ge2\left[\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right]\)
Đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)thì \(\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Nhưng ta có BĐT Nesbitt quen thuộc sau: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Thật vậy:
(Bài này mình đã làm nhiều rồi nha nên ngại đánh lại, đây là bất đẳng thức có rất nhiều cách chứng minh nhưng mình nghĩ dồn biến là cách hay và đẹp nhất nha! Có thể tham khảo nhiều cách khác trên mạng, vô thống kê hỏi đáp của mình xem ảnh)
Như vậy: \(\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)\(\ge2\left[\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right]\)\(\ge2.\frac{3}{2}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Cho x, y, z là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = \(\dfrac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\dfrac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{2x+y+z}+\dfrac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{x+2y+z}\)
Ta có x2-xy+y2=\(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2+3\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^2\)\(\ge\)\(\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2\)
=>\(\dfrac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}\ge\dfrac{x+y}{2\left(x+y+2z\right)}\)(1) . Tương tự ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}y+z=a\\x+z=b\\x+y=c\end{matrix}\right.\)(a,b,c>0). Khi đó ta có :
S=\(\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{a+b}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{a}{b+c}\right)\ge\dfrac{3}{4}\) (Netbit)
CHo x,y,z > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{x^2}\)+ \(\frac{1}{y^2}\)+ \(\frac{1}{z^2}\)= 1
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P= \(\frac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}\)+ \(\frac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}\)+\(\frac{1}{\sqrt{5z^2+2xz+2x^2}}\)
cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(\frac{1}{^{x^2}}\)+ \(\frac{1}{y^2}\)+ \(\frac{1}{z^2}\)= 1
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = \(\frac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}\)+ \(\frac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}\)+ \(\frac{1}{\sqrt{5z^2+2xz+2x^2}}\)
Ta có 5x2+2xy+2y2=(2x+y)2+(x-y)2>=(2x+y)2
Khi đó P<=\(\frac{1}{2x+y}+\frac{1}{2y+z}+\frac{1}{2z+x}\)
Lại có \(\frac{1}{2x+y}=\frac{1}{x+x+y}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)\)
Tương tự \(\frac{1}{2y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{y}\right)\)
\(\frac{1}{2z+x}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)
Khi đó P<=\(\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\le\frac{1}{3}\sqrt{3\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}\le\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
HAY
bài làm láo à ? sau 1 hồi trình bày thì dấu = khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) ??
cho x,y,z> 0 thỏa mãn \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=1\) . Tìm GTLN của
\(P=\frac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}+\frac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}+\frac{1}{\sqrt{5z^2+2xz+2x^2}}\)
\(P=\sum\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+4x^2+2xy+y^2}}\le\sum\frac{1}{\sqrt{2xy+4x^2+2xy+y^2}}=\sum\frac{1}{2x+y}\)
\(P\le\sum\frac{1}{x+x+y}\le\frac{1}{9}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}+\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(P\le\frac{1}{3}\sqrt{2\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{3}\)