\(S=\left(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\right)=\left(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\right).\left(x+y+z\right)\)   (do x+y+z=1 nên michf nhân vào kết quả sẽ ko bị  thay đổi)

\(S=\frac{21}{16}+\left(\frac{x}{4y}+\frac{y}{16x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{16x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{4y}\right)\)

AD BĐT cô si,ta có:

\(S\ge\frac{21}{16}+2.\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{16x}}+2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{16x}}+2.\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{4y}}=\frac{21}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{49}{16}\)

dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x=2y=z\\x+y+z=1\\x;y;z>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}}\)

T=116x+14y+1zT=116x+14y+1z  ; x + y + z = 1

⇒T=x+y+z16x+x+y+z4y+x+y+zz⇒T=x+y+z16x+x+y+z4y+x+y+zz

=116+y16x+z16x+x4y+14+z4y+xz+yz+1=116+y16x+z16x+x4y+14+z4y+xz+yz+1

=(116+14+1)+(y16x+x4y)+(z16x+xz)+(z4y+yz)=(116+14+1)+(y16x+x4y)+(z16x+xz)+(z4y+yz)                    (1)

x;y;z>0⇒y16x;x4y;z16x;xz;z4y;yz>0x;y;z>0⇒y16x;x4y;z16x;xz;z4y;yz>0

áp dụng bđt cô si : 

y16x+x4y≥2√y16x⋅x4y=14y16x+x4y≥2y16x⋅x4y=14                             (2)

z16x+xz≥2√z16x⋅xz=12z16x+xz≥2z16x⋅xz=12                                 (3)

x4y+yz≥2√z4y⋅yz=1x4y+yz≥2z4y⋅yz=1                                        (4)

(1)(2)(3)(4) ⇒T≥116+14+1+14+12+1⇒T≥116+14+1+14+12+1

⇒T≥4916⇒T≥4916

dấu "=" xảy ra khi \hept⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩y16x=x4yz16x=xzz4y=yz⇔\hept⎧⎨⎩4y2=16x2z2=16x2z2=4y2\hept{y16x=x4yz16x=xzz4y=yz⇔\hept{4y2=16x2z2=16x2z2=4y2

⇔\hept⎧⎨⎩y=2xz=4xz=2y⇔\hept{y=2xz=4xz=2y có x+y+z = 1

=> x + 2x + 4x = 1

=> x = 1/7

xong tìm ra y = 2/7 và z = 4/7

T=116x+14y+1zT=116x+14y+1z  ; x + y + z = 1

⇒T=x+y+z16x+x+y+z4y+x+y+zz⇒T=x+y+z16x+x+y+z4y+x+y+zz

=116+y16x+z16x+x4y+14+z4y+xz+yz+1=116+y16x+z16x+x4y+14+z4y+xz+yz+1

=(116+14+1)+(y16x+x4y)+(z16x+xz)+(z4y+yz)=(116+14+1)+(y16x+x4y)+(z16x+xz)+(z4y+yz)                    (1)

x;y;z>0⇒y16x;x4y;z16x;xz;z4y;yz>0x;y;z>0⇒y16x;x4y;z16x;xz;z4y;yz>0

áp dụng bđt cô si : 

y16x+x4y≥2√y16x⋅x4y=14y16x+x4y≥2y16x⋅x4y=14                             (2)

z16x+xz≥2√z16x⋅xz=12z16x+xz≥2z16x⋅xz=12                                 (3)

x4y+yz≥2√z4y⋅yz=1x4y+yz≥2z4y⋅yz=1                                        (4)

(1)(2)(3)(4) ⇒T≥116+14+1+14+12+1⇒T≥116+14+1+14+12+1

⇒T≥4916⇒T≥4916

dấu "=" xảy ra khi \hept⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩y16x=x4yz16x=xzz4y=yz⇔\hept⎧⎨⎩4y2=16x2z2=16x2z2=4y2\hept{y16x=x4yz16x=xzz4y=yz⇔\hept{4y2=16x2z2=16x2z2=4y2

⇔\hept⎧⎨⎩y=2xz=4xz=2y⇔\hept{y=2xz=4xz=2y có x+y+z = 1

=> x + 2x + 4x = 1

=> x = 1/7

xong tìm ra y = 2/7 và z = 4/7

\(A=\frac{1}{16x^2}+\frac{1}{4y^2}+\frac{1}{z^2}\)

\(=\frac{1}{16x^2}+\frac{4}{16y^2}+\frac{16}{16z^2}\)

\(=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x^2}+\frac{4}{y^2}+\frac{16}{z^2}\right)\)

\(\ge\frac{1}{16}.\frac{\left(1+2+4\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{49}{16}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}=\frac{2}{y^2}=\frac{4}{z^2}=7\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{\sqrt{7}}\\y=\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)hoặc \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{\sqrt{7}}\\y=-\sqrt{\frac{2}{7}}\\z=-\frac{2}{\sqrt{7}}\end{cases}}\)

Thêm 1 cách nhé!Câu hỏi của Dang Quốc Hung - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

@Cool Boy @ Cách làm của em hay lắm nhưng x, y, z >0 em nhé! 

Không cần nhóm 1/16 ra ngoài đâu ๖²⁴ʱČøøℓ ɮøү ²к⁷༉.

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel (hoặc Titu's Lecmma)

\(A=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^2}{x^2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{y^2}+\frac{1^2}{z^2}\) (nhóm lên:v)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{49}{16}\)

Ngắn gọn xúc tích:)Tự giải dấu "=" :v

\(VT=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{16}{z}\right)\ge\frac{1}{16}\left(\frac{\left(1+2+4\right)^2}{x+y+z}\right)=\frac{49}{16}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{4}{7}\right)\)

\(x^3+2x^2+3x+2=y^3\)

\(x^3+2x^2+3x=y^3-2\)

\(x\left(x^2+2x+3\right)=y^3-2\)

\(x=\frac{y^3-2}{x^2+2x+3}\)

đến đây tìm để \(x,y\in Z\) là xong

đép ba si tồ ơi anh làm kiểu j vậy e chẳng hiểu c éo j cả :)

Despacito là con gái chứ anh gì :')

Bài 1 quan trong là đoán dấu đẳng thức.

1/  Có: \(36=\left(3+2+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c\right)^2\)

\(\therefore\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c\le6\)

\(\frac{1}{3}\left(\frac{a}{bc}+\frac{3b}{2ca}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{b}{ca}+\frac{2c}{ab}\right)+2\left(\frac{c}{ab}+\frac{a}{3bc}\right)\)

\(\ge\frac{\sqrt{6}}{3c}+\frac{3\sqrt{2}}{a}+\frac{4\sqrt{3}}{3b}\)

\(=\frac{\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)}{c}+\frac{\left(3\sqrt{6}\right)}{\sqrt{3}a}+\frac{\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)}{\sqrt{2}b}\)

\(\ge\frac{\left(\sqrt{\frac{\sqrt{6}}{3}}+\sqrt{3\sqrt{6}}+\sqrt{\frac{4\sqrt{6}}{3}}\right)^2}{\sqrt{3}a+\sqrt{2}b+c}\ge2\sqrt{6}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=\sqrt{3},b=\sqrt{2},c=1\)

Hiếm hoi thấy anh tth làm bất ko dùng sos

Tại bài này SOS làm biếng thôi em, lằng nhằng lắm

\(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{1\div16}{16x\div16}+\frac{1\div4}{4y\div4}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(P=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(\frac{7}{4}\right)^2}{1}=\frac{49}{16}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}\). Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{\frac{1}{16}}{x}=\frac{\frac{1}{4}}{y}=\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1}{x+y+z}=\frac{21}{16}\)=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{21}\\y=\frac{4}{21}\\z=\frac{16}{21}\end{cases}}\)

Vậy MinP = 49/16

\(P=\frac{1}{16x}+\frac{4}{16y}+\frac{16}{16z}\)

Áp dụng Bđt Cauchy-schwarz dạng engel ta có:

\(P\ge\frac{\left(1+2+4\right)^2}{16\left(x+y+z\right)}=\frac{49}{16}\)

Dấu = khi \(\frac{1}{16x}=\frac{2}{16y}=\frac{4}{16z}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{1}{7}\end{cases}}\)

Vậy...

Cách khác không dùng Cauchy Schwarz

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\ge\frac{49}{16}\)

\(\Leftrightarrow P'=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{16}{z}\ge49\)

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

\(\frac{1}{x}+49x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot49}=14\)

\(\frac{4}{y}+49y\ge2\sqrt{\frac{4}{y}\cdot49y}=28\)

\(\frac{16}{z}+49z\ge2\sqrt{\frac{16}{z}\cdot49z}=56\)

\(\Rightarrow P'+49\left(x+y+z\right)\ge98\)

\(\Rightarrow P'\ge49\)

P=19/8

giải rõ ra mới biết

*số thực dương

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(P=\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{\frac{49}{16}}{1}=\frac{49}{16}\)

Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{\frac{1}{4}}{x}=\frac{\frac{1}{2}}{y}=\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1}{x+y+z}=\frac{\frac{7}{4}}{1}=\frac{7}{4}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}\)

Vậy ...

\(P=\frac{\frac{1}{16}}{x}+\frac{\frac{1}{4}}{y}+\frac{1}{z}=\frac{\left(\frac{1}{4}\right)^2}{x}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{49}{16}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\frac{49}{16}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{matrix}\right.\)