Đặt A=\(11...112111...1\)

\(\Rightarrow A=1111...100000..0+11111..11\)

\(\Rightarrow A=111....1\times10..0+1111....1\)

\(\Rightarrow A=11..1\times\left(1000..0+1\right)\)

\(\Rightarrow A⋮111..1\)

Mà A>111...1

Vậy A là hợp số

Thế số 2 đi đâu rồi bạn?

Nó bay lên trời hay chui xuống đât?

nó làm đúng rùi đó nhưng chưa rõ số chữ số thôi

\(a,A=\dfrac{\left(119+1\right)\left(119-1+1\right)}{2}=\dfrac{120\cdot119}{2}=60\cdot\dfrac{119}{2}⋮5\\ b,n^2+n+1=n\left(n+1\right)+1\)

Vì \(n\left(n+1\right)\) là tích 2 số tự nhiên lt nên \(n\left(n+1\right)\) chẵn

Do đó \(n\left(n+1\right)+1\) lẻ

Vậy \(n^2+n+1⋮̸4\)

a) chịu

b) n2 + n + 1= n3 + 1(ơ, n=1 đc mà)

Câu 1: 

\(=\dfrac{5}{4}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{11}+...+\dfrac{1}{4n-1}-\dfrac{1}{4n+3}\right)\)

\(=\dfrac{5}{4}\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4n+3}\right)\)

\(=\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{4n+3-3}{3\left(4n+3\right)}=\dfrac{5}{4}\cdot\dfrac{4n}{3\left(4n+3\right)}=\dfrac{5n}{3\left(4n+3\right)}\)

Câu 2: 

\(=\dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{14}-\dfrac{1}{19}+...+\dfrac{1}{5n-1}-\dfrac{1}{5n+4}\right)\)

\(=\dfrac{3}{5}\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{5n+4}\right)\)

\(=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5n+4-9}{9\left(5n+4\right)}=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{5\left(n-1\right)}{9\left(5n+4\right)}=\dfrac{n-1}{3\left(5n+4\right)}< \dfrac{1}{15}\)

Đặt A=11..121..1

=>A=11..11²

Vì thế A có ít nhất 3 ước là 1;11...11 và chính A

=>AA là hợp số

Tick nha

Bài toán khá nâng cao.

n²(n + 1) + 2n(n + 1)

⇔n³ + n² + 2n² + 2n

⇔n³ + 3n² + 2n

⇔(n² + 3n + 2)n 

Đối với bài này, đầu tiên lấy n = 1, 2 để biết gợi ý phân tích số thành nhân tử, rồi sau đó khái quát lên.

Với n = 1, số trở thành 121 = 11 x 11

Với n = 2, số trở thành 11211 = 111 x 101

Vậy khái quát hóa lên:

       11...1211...1 = 11..11 x 100...01 (số thứ nhất có n+1 chữ số 1, só thứ hai có số đầu tiên và cuối cùng là 1 và n-1 chữ số 0 ở giữa.

Để chứng minh trường hợp tổng quát trên cũng rất dễ, có thể đặt phép nhân theo hàng dọc là ra:

      11...11

   x 10...01

      11..   1

11..1

11...21....1

Hoặc cách khác là:

   11...11 x 10...01 = 11...11 x (10ⁿ +1) = 11...11 x 10ⁿ + 11...11

= 11...1100...0 + 11...11 = 11...1211...1

Bản chất hai cách nhân như nhau cả. 

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

dài dữ vậy

a/

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 2n+3)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow 2n+3-2(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$
Vậy $\frac{n+1}{2n+3}$ là phân số tối giản với mọi số tự nhiên $n$

b/

Cho $a=2, b=2$ thì phân số đã cho bằng $\frac{24}{26}$ không là phân số tối giản bạn nhé. 

Bạn xem lại đề.