\(ĐK:x,y,z\ne0\)

Đặt \(6\left(x-\frac{1}{y}\right)=3\left(y-\frac{1}{z}\right)=2\left(z-\frac{1}{x}\right)=xyz-\frac{1}{xyz}=a\)

\(\Rightarrow x-\frac{1}{y}=\frac{a}{6};y-\frac{1}{z}=\frac{a}{3};z-\frac{1}{x}=\frac{a}{2}\)\(\Rightarrow\frac{a^3}{36}=xyz-\frac{1}{xyz}-x+\frac{1}{y}-y+\frac{1}{z}-z+\frac{1}{x}=a-\frac{a}{6}-\frac{a}{3}-\frac{a}{2}=0\)suy ra a = 0

Nếu xyz = 1 thì x = y = z = 1 (thỏa mãn)

Nếu xyz = -1 thì x = y = z = -1 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y; z) là: (1; 1; 1),(-1; -1; -1).

Nhìn lozic qué bạn ey!!!

Đặt \(6\left(x-\frac{1}{y}\right)=3\left(y-\frac{1}{z}\right)=2\left(z-\frac{1}{x}\right)=xyz-\frac{1}{xyz}=k\) thì ta suy ra được :

\(x-\frac{1}{y}=\frac{k}{6}\); \(y-\frac{1}{z}=\frac{k}{3}\) ; \(z-\frac{1}{x}=\frac{k}{2}\)

Vậy ta có \(\left(x-\frac{1}{y}\right)\left(y-\frac{1}{z}\right)\left(z-\frac{1}{x}\right)=\frac{k^3}{36}\Rightarrow\left(xyz-\frac{1}{xyz}\right)-\left(x-\frac{1}{y}\right)-\left(y-\frac{1}{z}\right)-\left(z-\frac{1}{x}\right)=\frac{k^3}{36}\)

Mà \(x-\frac{1}{y}=\frac{k}{6};y-\frac{1}{z}=\frac{k}{3};z-\frac{1}{x}=\frac{k}{2};xyz-\frac{1}{xyz}=k\)

\(\Rightarrow k-\frac{k}{6}-\frac{k}{3}-\frac{k}{2}=\frac{k^3}{36}\Rightarrow k=0\)

Vậy ta suy ra được\(\left\{{}\begin{matrix}xy=1\\yz=1\\zx=1\\xyz=1\end{matrix}\right.\) nên ta có 4 cặp số nguyên: (1;1;1);(-1;-1;1);(1;-1;-1);(-1;1;-1).

Hi vọng bạn thấy hay!

dùng bunhia cho phần mẫu số là ra 

nhân VT ra rồi dùng cô si là ra 

ở nhở :v bị ngáo nhập :v

cơ mà hình như k được

dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi

\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)

\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc 

EZ :)))

nhưng làm thế thì ko bảo toàn đc dấu bất đẳng thức mà

TA LẦN LƯỢT ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ VÀO TỪNG BDT SAU SẼ ĐƯỢC: 

Có:    \(\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)}{64\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)

=>      \(\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{1+x}{8}+\frac{1+y}{8}\ge\frac{3x}{4}\)

CMTT TA CŨNG SẼ ĐƯỢC:    \(\hept{\begin{cases}\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{1+y}{8}+\frac{1+z}{8}\ge\frac{3y}{4}\\\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{1+z}{8}+\frac{1+x}{8}\ge\frac{3z}{4}\end{cases}}\)

=> TA CỘNG TỪNG VẾ 3 BĐT ĐÓ LẠI SẼ ĐƯỢC:   

\(\Rightarrow P+\frac{1+x}{4}+\frac{1+y}{4}+\frac{1+z}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P+\frac{x+y+z+3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}\)

TA LẠI ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ 1 LẦN NỮA SẼ ĐƯỢC: 

\(\Rightarrow P\ge\frac{2.3\sqrt[3]{xyz}-3}{4}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{2.3-3}{4}=\frac{6-3}{4}=\frac{3}{4}\)      (DO \(xyz=1\))

DẤU "=" XẢY RA <=>    \(x=y=z\)

MÀ:     \(xyz=1\Rightarrow x=y=z=1\)

VẬY P MIN    \(=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Từ giả thiết \(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)

Khi đó \(\frac{x}{1+x^2}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{\frac{1}{x}}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)}=\frac{xyz}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

Tương tự cho 2 cái còn lại ta có: \(\frac{y}{1+y^2}=\frac{xyz}{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}\)

\(\frac{z}{1+z^2}=\frac{xyz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\)

Suy ra \(VT=\frac{xyz\left(y+z\right)+2xyz\left(z+x\right)+3xyz\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\) 

Đpcm

Trần Việt Linh vào giúp bạn này đi