Áp dụng BĐT cô -si  \(\left(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\right)\) ta có :

\(\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b+2\sqrt{ab}\right)^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\frac{1}{8}\)

<=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{8}\)

<=> \(ab\left(a+b\right)^2\le\frac{1}{64}\)

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = \(\frac{1}{4}\)

BPT <=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{8}\)

\(\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}-a-b\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\) luôn luôn đúng với \(a,b\ge0\)

=> đpcm

c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)

a) Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

        \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

b)  Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

    \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}.\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}}=2\)

Dấu "=" xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

a) Ta có: \(5\sqrt{a}-3\sqrt{25a^3}+2\sqrt{36ab^2}-2\sqrt{9a}\)

\(=5\sqrt{a}-15a\sqrt{a}+12b\sqrt{a}-6\sqrt{a}\)

\(=-\sqrt{a}-15a\sqrt{a}+12\sqrt{a}b\)

b) Ta có: \(\sqrt{64ab^3}-3\sqrt{12a^3b^3}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^3b}\)

\(=8b\sqrt{a}-6ab\sqrt{3ab}+6ab\sqrt{ab}-45a^2b\sqrt{ab}\)

a)\(5\sqrt{a}-3\sqrt{25a^3}+2\sqrt{36ab^2}-2\sqrt{9a}=5\sqrt{a}-15\left|a\right|\sqrt{a}+12\left|b\right|\sqrt{a}-6\sqrt{a}=-\sqrt{a}-15a\sqrt{a}+12b\sqrt{a}\)

b)\(\sqrt{64ab^3}-3\sqrt{12a^3b^3}+2ab\sqrt{9ab}-5b\sqrt{81a^3b}\)

\(=8\left|b\right|\sqrt{ab}-6\left|ab\right|\sqrt{3ab}+6ab\sqrt{ab}-45b\left|a\right|\sqrt{ab}\)

\(=8b\sqrt{ab}-6ab\sqrt{3ab}+6ab\sqrt{ab}-45ab\sqrt{ab}\)

\(=8b\sqrt{ab}-6ab\sqrt{3ab}-39ab\sqrt{ab}\)

câu a dễ mà mình học lớp 6 thôi

do a>0 , b> 0 nên a , b là số nguyên dương

=> để a.b=1

thì a=1

b=1

=>(1+1).(1+1)

=    2.2

=4 

4 =4

=> (a+1).(b+1) \(\ge\)

bài 2 : đó là bất đẳng thức cô shi đó bạn dấu ''='' xảy ra khi a=b

bạn nguyễn văn hoàng ơi a>0, b>0 có thể a=1/2 và b=2 chẳng hạn

bạn giải sai r

Ta có: \(\dfrac{1}{4-\sqrt{ab}}\le\dfrac{1}{4-\dfrac{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{2}}\)

\(\left(a^2+b^2;b^2+c^2;c^2+a^2\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=6\\x;y;z>0\end{matrix}\right.\)

Làm nốt :v

Lời giải:

a) Sử dụng biến đổi tương đương:

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)

\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\geq a+b\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(a,b\geq 0\) )

Do đó ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi \(ab=0\Rightarrow \left[\begin{matrix} a=0\\ b=0\end{matrix}\right.\)

b)

Áp dụng BĐT phần a:

\(2012\sqrt{x-99}+2012\sqrt{105-x}=2012(\sqrt{x-99}+\sqrt{105-x})\geq 2012\sqrt{x-99+105-x}=2012\sqrt{6}\)

\(\sqrt{105-x}\geq 0\)

\(\Rightarrow 2012\sqrt{x-99}+2013\sqrt{105-x}\geq 2012\sqrt{6}+0=2012\sqrt{6}\)

Mà \(2012\sqrt{x-99}+2013\sqrt{105-x}\leq 2012\sqrt{6}\) (theo giả thiết)

Suy ra \(2012\sqrt{x-99}+2013\sqrt{105-x}=2012\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(105-x=0\Rightarrow x=105\)

Vậy BPT có nghiệm $x=105$