Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng công thức diện tích của hình bình hành, và áp dụng định lí hai đường cao trong tam giác để tính diện tích tam giác ABC.

Đầu tiên, ta cần tính diện tích tam giác ABC. Ta sẽ sử dụng định lí hai đường cao trong tam giác ABC để tính toán. Gọi H là hạt giác của góc A trong tam giác ABC, và gọi AH là đường cao kẻ từ A xuống BC. Ta sẽ sử dụng định lí hai đường cao trong tam giác ABC để tính diện tích của tam giác này:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AH \cdot BC$

Tiếp theo, ta cần tính diện tích của hình bình hành AEMK. Để làm điều này, ta sử dụng công thức diện tích của hình bình hành:

$S_{AEMK} = AE \cdot MK$

Ta có thể tính được AE và MK bằng cách sử dụng các hệ số tỉ lệ. Gọi x là độ dài BM, ta có:

$AE = \frac{AB}{BC} \cdot BM = \frac{S}{S_{ABC}} \cdot x$

$MK = \frac{MC}{BC} \cdot BM = \frac{S - SMCKS}{S_{ABC}} \cdot x$

Lưu ý rằng ta sử dụng diện tích của hình bình hành để tính các hệ số tỉ lệ này.

Cuối cùng, ta có thể tính diện tích của hình bình hành AEMK bằng cách thay các giá trị được tính toán vào công thức diện tích của hình bình hành:

$S_{AEMK} = AE \cdot MK = \frac{S}{S_{ABC}} \cdot x \cdot \frac{S - SMCKS}{S_{ABC}} \cdot x = \frac{S(S-SMCKS)}{S_{ABC}^2} \cdot x^2$

Vậy diện tích của hình bình hành AEMK là $\frac{S(S-SMCKS)}{S_{ABC}^2} \cdot x^2$.

Ta có Theo định lý talet MN//AC 

         \(\frac{AN}{AB}=\frac{CM}{BC}\left(1\right)\)

Theo định lý Talet MP//AB

        \(\frac{AP}{AC}=\frac{BM}{BC}\left(2\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right):\frac{AN}{AB}+\frac{AP}{AC}=\frac{CM}{BC}+\frac{MC}{BC}\)

\(\frac{CM}{BC}+\frac{MC}{BC}=1\)

\(\Rightarrow\frac{AN}{AB}+\frac{AP}{AC}=1\)

Xét ΔABC có 

M∈AB(gt)

N∈AC(gt)

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)(gt)(1)

Do đó: MN//BC(Định lí Ta lét đảo)

Suy ra: MK//BI và NK//CI

Xét ΔABI có 

M∈AB(gt)

K∈AI(gt)

MK//BI(Gt)

Do đó: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MK}{BI}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(2)

Xét ΔACI có 

K∈AI(gt)

N∈AC(gt)

KN//IC(cmt)

Do đó: \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{KN}{IC}\)(Hệ quả của Định lí Ta lét)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{MK}{BI}=\dfrac{NK}{CI}\)

mà BI=CI(I là trung điểm của BC)

nên MK=NK(đpcm)

vì PM // AC nên áp dụng định lí Ta lét, ta có:

AP/AB = MC/BC (1)

tương tự vì MN//AB nên áp dụng định lí Ta lét:

AN/AC = BM/BC (2)

Lấy (1)+(2) ta có => AP/AB + AN/AC = MC/BC + BM/BC = BM+MC/BC = BC/BC = 1(đpcm)

vậy AP/AB + AN/AC = 1