Từ \(x^3+y^3+z^3=-3\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-6\) 

\(\Leftrightarrow2x^3+2y^3+2z^3=-3\left(x^2y+y^2z+z^2x\right)-3\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\right)+\left(y^3+3y^2z+3yz^2+z^3\right)+\left(z^3+3z^2x+3zx^2+x^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+\left(y+z\right)^3+\left(z+x\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+y+z+z+x=0\\x+y=y+z=z+x\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y+z=0\\x=y=z\end{matrix}\right.\)

 Xét TH \(x=y=z\), thay vào pt thứ 3 của hệ, ta có \(3x^3=-3\Leftrightarrow x=-1\) \(\Rightarrow\left(x;y;z\right)=\left(-1;-1;-1\right)\). Thử lại vào 2 pt đầu, ta thấy rõ ràng không thỏa mãn.

 Xét TH \(x+y+z=0\), ta sẽ có \(x^3+y^3+z^3=3xyz\) \(\Rightarrow xyz=-1\)

 Thay vào pt đầu tiên của hệ, thu được \(x^2y+y^2z+z^2x=-xyz\) \(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x+xyz=0\). Tương tự, ta có \(xy^2+yz^2+zx^2+xyz=0\). Cộng theo vế 2 pt này, ta được \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\). Ta xét TH \(x+y=0\). Do \(x+y+z=0\) nên \(z=0\) và \(x=-y\), không thỏa mãn pt thứ 3. Tương tự với 2 trường hợp còn lại.

 Vậy hpt đã cho vô nghiệm.

⎧​3x2+xz−yz+y2=2(1)y2+xy−yz+z2=0(2)x2−xy−xz−z2=2(3)​

Lấy (2) cộng (3) ta được

�2+�2−��−��=2x2+y2−yz−zx=2 (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

⇔[�=0�=−�⇔[x=0x=−z​

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

Nhớ tick nha

$\{\begin{array}{c}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\ y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\ x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{array}$

Lấy (2) cộng (3) ta được

$x^2+y^2-yz-zx=2$ (4)

Lấy (1) - (4) ta được

$2x\left(x+z\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=-z\end{array}$

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

Đến đây dễ rồi

Hệ pt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\left(x+1\right)\left(y+1\right)+xy=-6\left(1\right)\\2y\left(y+1\right)\left(x+1\right)\text{yx}=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-6-xy\\2y\left(y+1\right)\left(x+1\right)=6-xy\end{matrix}\right.\)

Thay x=0, y=0 thì hệ ko thỏa mãn. Thay x=-1, y=-1 hệ cũng k thỏa

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\ne\left(0;0\right),xy\ne0,x+1\ne0,y+1\ne0\Rightarrow6-xy\ne0\) (*)

Chí từng vế của 1 pt cho nhau: 

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{-6-xy}{6-xy}\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)=6\left(x+y\right)\)

Thay x=y thì hpt có vế phải = nhau, vế trái khác nhau => x-y\(\ne0\) (**)

\(\Rightarrow xy=\dfrac{6\left(x+y\right)}{x-y}\left(3\right)\)

Cộng từng vế (1) và (2) của hệ ta đc pt: \(2\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)+2xy=0\left(4\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)+xy=0\)  

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+1+\dfrac{6\left(x+y\right)}{x-y}+\dfrac{6\left(x+y\right)}{x-y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+1+\dfrac{6\left(x+y+1\right)}{x-y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)\left(1+\dfrac{6}{x-y}\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\x+y+1=0\\1+\dfrac{6}{x-y}=0\end{matrix}\right.\)

- Với \(x+y=0\Leftrightarrow x=-y\)

Thế vào hệ \(\Rightarrow-2y^2=0\Leftrightarrow y=0,x=O\) (ko thỏa *)

- Với \(x+y+1=0\Leftrightarrow x=-y-1\). Thế vào pt (1) của hệ ta đc:

\(2y^3+3y^2+y+6=0\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(2y^2-y+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=0\Leftrightarrow y=-2\\2y^2-y+3=0\left(VN\right)\end{matrix}\right.\)

- Với y=-2 => x=1. Thế vào thì hệ thỏa, vậy có nghiệm(x;y)=(1;-2)

- Với \(1+\dfrac{6}{x-y}=0\Leftrightarrow x-y+6=0\Leftrightarrow x=y-6\)

Thế x=y-6 vào pt (2) của hệ:

\(\left(2\right)\Leftrightarrow2y^3-7y^2-16y-6=0\Leftrightarrow\left(2y+1\right)\left(y^2-4y-6\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2y+1=0\\y^2-4y-6=0\end{matrix}\right.\)

\(y^2-4y-6=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y_1=2+\sqrt{10}\\y_2=2-\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

\(2y+1=0\Leftrightarrow y_3=-\dfrac{1}{2}\)

..................

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x^2-2x\right)-\left(y^2-4y\right)=1\\\left(x^2-2x\right)^2+2=y\left(x-2\right)x\left(y-4\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x^2-2x\right)-\left(y^2-4y\right)=1\\\left(x^2-2x\right)^2+2=\left(x^2-2x\right)\left(y^2-4y\right)\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x^2-2x=u\\y^2-4y=v\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2u-v=1\\u^2+2=uv\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow u^2+2=u\left(2u-1\right)\)

\(\Leftrightarrow u^2-u-2=0\Leftrightarrow...\)

ĐKXĐ: \(x,y,z\ge0\)

Từ pt đầu tiên, áp dụng BĐT Cauchy: \(1+y\ge2\sqrt{y}\) \(\Rightarrow\sqrt{x}\left(1+y\right)\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow2y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{y}\ge\sqrt{x}\Rightarrow y\ge x\)

Tương tự ta có \(2z=\sqrt{y}\left(1+z\right)\ge2\sqrt{yz}\Rightarrow z\ge y\)

\(2x=\sqrt{z}\left(1+x\right)\ge2\sqrt{xz}\Rightarrow x\ge z\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\ge x\\z\ge y\\x\ge z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z\)

Thay vào pt đầu ta được:

\(\sqrt{x}\left(1+x\right)=2x\Leftrightarrow2x-\sqrt{x}\left(1+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1-x\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\-x+2\sqrt{x}-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\-\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ có 2 bộ nghiệm:

\(\left(x,y,z\right)=\left(0,0,0\right);\left(1,1,1\right)\)