hình bạn tự vẽ nhé

a. ví tam giác ABC là tam giác cân và có góc A bằng 90 độ nên tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A

=> góc BAC = 90 độ và AB=AC

Xét tứ giác ABIC có góc BAC =90 độ, góc ABI = 90 độ (vì AIvuông góc với AB ), góc ACI =90độ (vì AC vuông góc với CI)

=> tứ giác ABIC là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

mà AB=AC (cmt)

=> Tứ giác ABIC là hình vuông (dấu hiệu nhận  biết hình vuông)

=> AI là phân giác góc BAC

Câu a mình làm xuống dưới nha =)))

b. Ta có, 2xgóc BCE + 2x góc BCF = 180° ( gt theo tia phân giác )

=> 2.(góc BCE + góc BCF ) = 180° 

<=> góc ECF =  180°/ 2 = 90°

Chứng minh tương tự, có góc EBF = 90°

( từ hai điều trên ) suy ra góc ECF + góc EBF = 180°

=> tức giác BECF nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của EF.

c, tức giác BECF nội tiếp => góc EBI = góc CIF

                                                  góc EIB = góc CIF ( đối đỉnh )  

                                            ==> tam giác IEB đồng dạng với tam giác ICF

                                                          => BI / IE = IF / IC 

                                                                <=> BI.IC= IF.IE 

a, trong tam giác ABC

có góc xBC = góc BAC + góc ACB   ( góc ngoài tam giác )

=> 1/2 góc xBC = 1/2 góc BAC + 1/2 góc ACB 

     <=> FBI = góc EAC + góc ECA 

             mà EAC + ECA + AEC = 180° 

==>  góc FBI + góc AEC = 180°     * 

          mà  góc FBI = góc FEC ( tức giác BEFC nội tiếp )         **

Từ (*) và (**) suy ra FEC + AEC = 180°

                     => E, F, A  thẳng hàng. 

A, xin lỗi, cái chỗ câu c nè 

tức giác BECF nội tiếp suy ra góc EBI = góc CFI mới đúng  nhé

xin lỗi, mình viết nhầm chỗ đó :(((       

Áp dụng BĐT cosi dạng \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\cdot\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{4}{a+b}\cdot\dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{2a+b+c}=\dfrac{a}{a+b+a+c}\le\dfrac{a}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)

Cmtt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{a+2b+c}\le\dfrac{b}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)\\\dfrac{c}{a+b+2c}\le\dfrac{c}{4}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng VTV 3 BĐT trên:

\(\Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)\\ \Leftrightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{a+c}{a+c}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot3=\dfrac{3}{4}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

Ta có: \(59\equiv3\left(mod7\right)\Rightarrow59^n\equiv3^n\left(mod7\right)\)

Tương tự: \(17^n\equiv3^n\left(mod7\right)\) ; \(9^n\equiv2^n\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow A\equiv3^n-3^n-2^n+2^n\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow A⋮7\)

Vẫn tương tự, ta có: \(A\equiv4^n-2^n-4^n+2^n\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow A⋮5\)

Mà 7 và 5 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow A⋮35\)