ta có : góc EBN = góc FCA(1)

lại có : góc EBC = 90 độ ; FCB = 90 độ

=> EBC = FBC (2)

từ (1) và (2) suy ra:

góc PBC = góc PCB

tiếp tục có:

\(\widehat{BPH}+\widehat{CPH}=2.\widehat{EBP}\)

mà \(2.\widehat{EBP}=\widehat{PBC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BPH}+\widehat{CPH}=\widehat{PBC}\)

\(mà\widehat{BPH}+\widehat{CPH=}\widehat{BPC}\)

\(\Rightarrow\widehat{PBC}=\widehat{PBC}=\widehat{PCB}\)

từ đó suy ra : tam giác PBC là tam giác đều

( bn không hỉu chỗ nào thì hỏi lại mình nhe)

Theo hình vẽ thì $PBC$ làm sao mà là tam giác đều được nhỉ?

Gọi M là giao điểm của PE với AB.

Ta thấy rằng \(CF=AF=PE,PF=AE=EB\)

Đồng thời \(\widehat{BEP}=60^o-\widehat{AEP}=60^o-\widehat{AFP}=\widehat{PFC}\)

Dẫn đến \(\Delta PBE=\Delta CPF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow PB=PC\)        (1)

Mặt khác, \(\widehat{AMF}=\widehat{MAE}=60^o=\widehat{ACF}\) nên tứ giác AMCF nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{PFC}\). Mà lại có \(AB=PF,AC=FC\) nên suy ra \(\Delta ABC=\Delta FPC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow PC=BC\)               (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\Delta PBC\) đều (đpcm)

ΔABC vuông tại A có AM là trung tuyến

nên MA=MB=MC

AE=EB

AM=BM

=>EM là trung trực của AB

=>EM vuông góc AB

=>EM//AC

MA=MC

FA=FC

=>MF là trung trực của AC

=>MF vuông góc AC

+>ME vuông góc MF

=>góc GMF=90 độ

Gọi D,K lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>DM=AC/2; MK=AB/2

GD=1/3ED=1/3*AB*căn 3/2=AB*căn 3/6

KF=AC*căn 3/2

GM=căn 3/6AB+1/2AC

MF=căn 3/2*AC+1/2*AB

=>GN=căn 3/3(AB/2+căn 3/2*AC)

=MF*căn 3/3

=>MF=căn 3*GM

=>góc GFM=30 độ

=>góc MGF=60 độ

Xét tam giác ABD và tam giác FBC có:

AB=FB ( cạnh tam giác đều FAB)

DB=BC ( cạnh tam giác đều DBC)

góc ABD = góc FBC ( cùng bằng góc ABC + 60 độ)

Suy ra tam giác ABD = tam giác FBC (C.G.C)

=> FC=AD