Cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn \(|f\left(x\right)|\le1,\forall|x|\le1\). Chứng minh rằng \(|f\left(x\right)|\le7,\forall|x|\le2\)
Những câu hỏi liên quan
cho hàm số \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn \(f\left(x\right)\le1\) \(\forall x\in\left[-1;1\right]\).
CMR: \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le4\)
cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn |f(x)| ≤ 1 \(\forall x\in\left[-1;1\right]\). Chứng minh rằng \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le4\)
Lời giải:Đặt $A=f(1)=a+b+c; B=f(-1)=a-b+c; C=f(0)=c$
Theo đề bài: $|A|, |B|, |C|\leq 1$
\(|a|+|b|+|c|=|\frac{A+B}{2}-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|\)
\(\leq |\frac{A+B}{2}|+|-C|+|\frac{A-B}{2}|+|C|=|\frac{A}{2}|+|\frac{B}{2}|+|C|+|\frac{A}{2}|+|\frac{-B}{2}|+|C|\)
\(=|A|+|B|+2|C|\leq 1+1+2=4\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) thỏa mãn \(If\left(-1\right)I\le1:Ìf\left(0\right)I\le1;Ìf\left(1\right)I\le1\)
CMR:\(If\left(x\right)I\le\frac{5}{4}\forall x\in\left[-1;1\right]\)
cho đa thức f(x)=ax2+bx+c với \(a,b\ge0\) thỏa mãn điều kiện\(\left|f\left(x\right)\right|\le1,\forall x:-1\le x\le1\) . Tìm GTLN của A=a2+b2
1. Cho a,b,c 0. CmR: dfrac{a^2+b^2}{a+b}+dfrac{b^2+c^2}{b+c}+dfrac{c^2+a^2}{c+a}le3.dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}
2. Cho fleft(xright)ax^2+bx+c biết rằng: left{{}begin{matrix}left|fleft(0right)right|le1left|fleft(-1right)right|le1left|fleft(1right)right|le1end{matrix}right.
CmR: a) left|aright|+left|bright|+left|cright|le3
b) left|fleft(xright)right|ledfrac{5}{4}forall xinleft[-1;1right]
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c > 0. CmR: \(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le3.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
2. Cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) biết rằng: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|f\left(0\right)\right|\le1\\\left|f\left(-1\right)\right|\le1\\\left|f\left(1\right)\right|\le1\end{matrix}\right.\)
CmR: a) \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le3\)
b) \(\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{5}{4}\forall x\in\left[-1;1\right]\)
20 tháng 7 2023 lúc 11:19
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) là hàm số bậc hai với hệ số \(a>0\), thỏa mãn \(\left|f\left(x\right)\right|\le1,\forall x\in\left[-1;1\right]\) và biểu thức \(P=\dfrac{8}{3}a^2+2b^2\) đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức \(Q=5a+11b+c.\)
1. Cho a,b,c 0. CmR: dfrac{a^2+b^2}{a+b}+dfrac{b^2+c^2}{b+c}+dfrac{c^2+a^2}{c+a}le3.dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}2. Cho fleft(xright)ax^2+bx+c biết rằng: hept{begin{cases}left|fleft(0right)right|le1left|fleft(-1right)right|le1left|fleft(1right)right|le1end{cases}}CmR: a) left|aright|+left|bright|+left|cright|le3 b) left|fleft(xright)right|ledfrac{5}{4}forall xinleft[-1;1right]
Đọc tiếp
1. Cho a,b,c > 0. CmR: \(\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le3.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\)
2. Cho \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) biết rằng: \(\hept{\begin{cases}\left|f\left(0\right)\right|\le1\\\left|f\left(-1\right)\right|\le1\\\left|f\left(1\right)\right|\le1\end{cases}}\)
CmR: a) \(\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le3\)
b) \(\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{5}{4}\forall x\in\left[-1;1\right]\)
1.
Nhân 2 vế của BĐT với \(\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0\) *đúng*
Đúng 0
Bình luận (0)
4 tháng 3 2023 lúc 18:13
1. Chứng minh rằng mọi hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) thỏa mãn \(f\left(xy+x+y\right)=f\left(xy\right)+f\left(x\right)+f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
2. Xác định tất cả các hàm số \(f\) liên tục trên \(ℝ\) thỏa mãn điều kiện \(f\left(2x-y\right)=2f\left(x\right)-f\left(y\right),\forall x,y\inℝ\)
15 tháng 4 2022 lúc 21:31
Cho hàm số fleft(xright) có đạo hàm fleft(xright) liên tục trên R và thỏa mãn các điều kiện fleft(xright)0,forall xin R, fleft(0right)1 và fleft(xright)-4x^3.left(fleft(xright)right)^2,forall xin R. Tính Iint_0^1x^3fleft(xright)dxA.Idfrac{1}{6} B. Iln2 C. Idfrac{1}{4} D. Idfrac{ln2}{4}Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều♥
Đọc tiếp
Cho hàm số \(f\left(x\right)\) có đạo hàm \(f'\left(x\right)\) liên tục trên \(R\) và thỏa mãn các điều kiện \(f\left(x\right)>0,\forall x\in R\), \(f\left(0\right)=1\) và \(f'\left(x\right)=-4x^3.\left(f\left(x\right)\right)^2,\forall x\in R\). Tính \(I=\int_0^1x^3f\left(x\right)dx\)
A.\(I=\dfrac{1}{6}\) B. \(I=ln2\) C. \(I=\dfrac{1}{4}\) D. \(I=\dfrac{ln2}{4}\)
Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều♥
\(f'\left(x\right)=-4x^3\left(f\left(x\right)\right)^2\Leftrightarrow-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}=4x^3\)
Lấy nguyên hàm hai vế
\(\int-\dfrac{f'\left(x\right)}{\left(f\left(x\right)\right)^2}dx=\int4x^3dx\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{f\left(x\right)}=x^4+c\)
Thay x=0 vào tìm được c=1 \(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^4+1}\)
\(I=\int\limits^1_0\dfrac{x^3}{x^4+1}dx=\dfrac{1}{4}\int\limits^1_0\dfrac{\left(x^4+1\right)'}{x^4+1}dx=\dfrac{ln2}{4}\)
Chọn D
Đúng 1
Bình luận (0)