\(B=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2009}+3^{2010}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{2009}\left(1+3\right)\)

\(=4.\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)\)

⇒ \(B\) ⋮ 4

b: \(C=5\left(1+5+5^2\right)+...+5^{2008}\left(1+5+5^2\right)=31\cdot\left(5+...+5^{2008}\right)⋮31\)

Lời giải:
$S=(2+2^2)+(2^3+2^4)+....+(2^{23}+2^{24})$

$=2(1+2)+2^3(1+2)+....+2^{23}(1+2)$

$=(1+2)(2+2^3+...+2^{23})$

$=3(2+2^3+...+2^{23})\vdots 3$

b.

$S=2+2^2+2^3+...+2^{23}+2^{24}$

$2S=2^2+2^3+2^4+....+2^{24}+2^{25}$

$\Rightarrow 2S-S=2^{25}-2$

$\Rightarrow S=2^{25}-2$

Ta có:

$2^{10}=1024=10k+4$

$\Rightarrow 2^{25}-2=2^5.2^{20}-2=32(10k+4)^2-2=32(100k^2+80k+16)-2$
$=10(320k^2+8k+51)\vdots 10$

$\Rightarrow S$ tận cùng là $0$

S = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) + ... + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= 30 + 2⁴.(2 + 2² + 2³ + 2⁴) + ... + 2⁵⁶.(2 + 2² + 2³ + 2⁴)

= 30 + 2⁴.30 + 2⁵⁶.30

= 30.(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶)

= 10.3.(1 + 2⁴ + ... + 2⁵⁶) ⋮ 10

Vậy chữ số tận cùng của S là 0

*) S = 2¹ + 2² + 2³ + ... + 2⁶⁰

= (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

= 14 + 2³.(2 + 2² + 2³) + ... + 2⁵⁷.(2 + 2² + 2³)

= 14 + 2³.14 + ... + 2⁵⁷.14

= 14.(1 + 2³ + ... + 2⁵⁷) ⋮ 14

Vậy S ⋮ 14

\(S=5+5^2+5^3+...+5^{2008}\)

a) Ta có: \(126=5^0+5^3\)

\(5+5^4=5\left(5^0+5^3\right)\text{ }⋮\text{ }126,\text{ }5^2+5^5=5^2\left(5^0+5^3\right)\text{ }⋮\text{ }126,...\)

Áp dụng lần lượt như thế, ta có:

\(\left(5+5^4\right)+\left(5^2+5^5\right)+\left(5^3+5^6\right)+\left(5^7+5^{10}\right)+\left(5^8+5^{11}\right)+\left(5^9+5^{12}\right)+...+\left(5^{2005}+5^{2008}\right)\text{ }⋮\text{ }126\)

Còn thiếu \(5^{2006}+5^{2007}\), ta có: \(5^{2006}+5^{2007}=5^{2006}\left(5^0+5^1\right)=5^{2006}\cdot6=2\cdot3\cdot5^{2006}\)

Trong khi đó: \(126=2\cdot3^2\cdot7\)

Ta dễ thấy \(5^{2006}+5^{2007}\) không chia hết cho \(3\cdot7=21\), nên \(5^{2006}+5^{2007}\) không chia hết cho 126.

Từ đó suy ra S không chia hết cho 126.

b) Tất cả các số hạng đều có chữ số tận cùng là 5.

Biểu thức S có \(\left(2008-1\right)+1=2008\) số hạng cộng lại với nhau.

=> S có chữ số tận cùng là 0 (vì số lượng các số hạng cộng lại với nhau là số chẵn)

a) $S=(5+5^2+5^3+5^4+5^5+5^6)+...+(5^{91}+5^{92}+5^{93}+5^{94}+5^{95}+5^{96})$
$=5(1+5+5^2+5^3+5^4+5^5)+...+5^{91}(1+5^2+5^3+5^4+5^5)=5.3906+...+5^{91}.3906=3906(5+...+5^{96})=3.126(5+...+5^{91})$
chia hết cho $126$.
b) Do S là tổng các lũy thừa có cơ số là 5.
Cho nên mỗi lũy thừa đều tận cùng là 5.
Mà S có tất cả 96 số như vậy. Nên chữ số tận cùng của S là 0. 

a)

Bạn sai đề là chia hết 126

Ta có

\(S=5\left(1+5^3\right)+5^2\left(1+5^3\right)+.....+5^{93}\left(1+5^3\right)\)

\(S=5.126+5^2.126+.....+5^{93}.126⋮126\)

b)

Cách 1

Vì mọi số hạng của S đều chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5

Vì S chia hết cho 126 nên A chia hết cho 2

Mà (2;5)=1

=> S chia hết cho 10

=> S có tận cùng là 0

Cách 2

\(S=\left(5+5^2\right)+5^2\left(5+5^2\right)+.....+5^{94}\left(5+5^2\right)\)

\(\Rightarrow S=30+5^2.30+.....+5^{94}.30\) chia hết cho 10

=> A có tận cùng là 0

giải dài lắm bạn ơi,mik làm câu b thui nhé

S = 1 + 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + ... + 3 ^ 202 + 3 ^ 203

S x 3 = ( 1 + 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + ... + 3 ^ 202 + 3 ^ 203 ) x 3

Sx 3 = 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + 3 ^ 4 + ... + 3 ^ 203 + 3 ^ 204

S x 3 = ( 1 + 3 + 3 ^ 2 + 3 ^ 3 + ... + 3 ^ 202 + 3 ^ 203 ) + 3 ^ 204 - 1

S x3 = S + 3 ^ 204 - 1

S x 2 = 3 ^ 204 - 1 ( cũng bớt cả 2 vế đi S )

S = 3 ^ 204 - 1 : 2

S = 3 ^ 4 x 51 - 1 : 2

S = (3^4) ^ 51 - 1 : 2

S = 81 ^ 51 - 1 : 2

Vì 81  ^ 51 luôn có t/c = 1 ( do số có t/c =1 khi nâng lên bất kì lũy thừa nào đều có t/c = 1)

=> 81 ^ 51 - 1 co t/c = 0

=> 81 ^ 51 - 1 : 2 co t/c = 5

Hay S có t/c = 5

Vay S co t/c =5

Ung ho nha