\(1,\)

\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)

Với \(n=k+1\)

\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)

Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)

Với \(n=k+1\)

\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)

Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(1,\)

\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)

Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)

\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)

Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)

\(2,\)

Ta thấy:\(1+2+...+2002=\left(2002+1\right)\left(2002-1+1\right):2=2003\cdot2002:2⋮11\left(2002⋮11\right)\)

Do đó \(1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002}⋮1+2+...+2002⋮11\)

1) 

 n³ + 3n² + 2n = n²(n + 1) + 2n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 
số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3 
mà (n + 1) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n 
(n + 2) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n 
=>n³ + 3n² + 2n luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

2)

Bạn làm tương tự nha! 

thank

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=\left(3^n.3^2+3^n\right)-\left(2^n.2^2+2^n\right)\)

\(=\left(3^n.10\right)-\left(2^n.5\right)=\left(3^n.10\right)-\left(2^{n-1}.10\right)\)

\(=\left(3^n-2^{n-1}\right).10⋮10\)

Tương tự nhé

Ta có : Số số hạng của dãy số D chính là khoảng cách từ 1-->100 , mỗi số cách nhau 1 đơn vị .

=> Số số hạng của dãy số D là : \(\frac{100-1}{1}+1=100\) ( số hạng )

Vậy ta có số nhóm là : 100 : 2 = 50 ( nhóm )

\(D=\left(6+6^2\right)+\left(6^3+6^4\right)+...+\left(6^{99}+6^{100}\right)\)

\(D=\left(6+6^2\right)+6^2\left(6+6^2\right)+...+6^{98}\left(6+6^2\right)\)

\(D=1.42+6^2.42+...+6^{98}.42\)

\(D=\left(1+6^2+...+6^{98}\right).42\)

Vì : 42 = 6 . 7 . Mà : \(1+6^2+...+6^{98}\in N\) \(\Rightarrow D⋮7\)

Vậy : \(D⋮7\)

b, \(E=3^{n+3}+2^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+2}\)

\(E=3^n.3^3+2^n.2^3+3^n.3+2^n.2^2\)

\(E=3^n.3^3+3^n.3+2^n.2^3+2^n.2^2\)

\(E=3^n\left(3^3+3\right)+2^n\left(2^3+2^2\right)\)

\(E=3^n.30+2^n.12\)

\(E=3^n.5.6+2^n.2.6\)

\(E=\left(3^n.5+2^n.2\right).6\)

Mà : \(3^n.5+2^n.2\in N\Rightarrow E⋮6\)

Vậy : \(E⋮6\)

a)D=6+6²+6³+...+6⁹⁹+6¹⁰⁰

D=(6+6²)+(6³+6⁴)+...+(6⁹⁹+6¹⁰⁰)

D=42.1+6^2..42+...+6⁹⁸.42

D=42.(1+6²+...+6⁹⁸)\(⋮\)7

\(\Rightarrow\)D\(⋮\)7

\(6D=6^2+6^3+...+6^{101}\)

\(\Rightarrow5D=6D-D=6^{101}-6=6\left(6^{100}-1\right)\)

Ta chứng minh được \(6^{100}-1\) chia hết cho 7

Cụ thể là 6 đồng dư với \(-1\left(mod7\right)\Rightarrow6^{100}\) đồng dư với \(\left(-1\right)^{100}=1\left(mod7\right)\)

\(\Rightarrow6^{100}-1\) chia hết cho 7
Vậy \(5D\) chia hết cho 7 mà \(UCLN\left(5;7\right)=1\) suy ra D chia hết 7