Happy new year mọi ngưòi và "MY IDOL BTS"! Chúc mọi người mạnh khoẻ, học tập và làm việc thật tốt, gặt hái được nhiều thành công trong năm 2019 này và tiếp tục hoạt động sôi nổi trên cộng đồng học 24h nhé!
HAPPY NEW YEAR NHA MỌI NGƯỜI!!!!!!!!!!!!!
Chúc mừng năm mới 2023! Kính chúc mọi người có sức khỏe, niềm vui và gặt hái được nhiều thành công trong năm mới nhé, chúc cộng đồng chúng ta tiếp tục phát triển mạnh mẽ và giữ vững ngôi hệ thống web thịnh hành nhất Việt Nam!
Mình rất hóng bạn nào giải được bài toán đầu tiên của năm, và mình sẽ trao 2GP cho bạn giải được nhé:
Cho x,y,z > 0. Chứng minh rằng:
\(\left(x+y+z\right)^2\left[\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+z^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xz}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2z^2\sqrt{xz}+z^5}}\right]\)
\(\ge\dfrac{27}{\sqrt[5]{2023+2}}\)
Em xin giải bài toán kia nhé :)
Trước hết ta có hằng đẳng thức:
\(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5=\left(x+y\right)^5\)
Biến đổi hằng đẳng thức trên:
\(x^5+y^5+5xy\left(x^3+2x^2y+2xy^2+y^3\right)=\left(x+y\right)^5\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+5xy\left[\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\left(x+y\right)\right]=\left(x+y\right)^5\)
\(\Rightarrow x^5+y^5+5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)=\left(x+y\right)^5\) (*)
Quay lại bài toán trên:
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}\left(1\right)\\2xy\le x^2+y^2\Rightarrow3xy\le x^2+xy+y^2\Rightarrow xy\le\dfrac{x^2+xy+y^3}{3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Vì cả 2 vế của BĐT (1) và (2) đều dương nên lấy \(\left(1\right).\left(2\right)\) ta được:
\(xy\sqrt{xy}\le\dfrac{1}{6}\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Rightarrow x^5+2023xy.xy\sqrt{xy}+y^5\le x^5+\dfrac{2023}{6}xy.\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\left(3\right)\)
Đặt \(A=x^5+\dfrac{2023}{6}xy.\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\)
\(=\dfrac{6x^5+2023xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+6y^5}{6}\)
\(=\dfrac{6\left[x^5+5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\right]+1993xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{6}\)
Áp dụng (*) ta có:
\(A=\dfrac{6\left(x+y\right)^5+1993xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}{6}\left(4\right)\)
Ta có: \(xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}.3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\left(x+y\right)\)
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\left[\dfrac{3xy+\left(x^2+xy+y^2\right)}{2}\right]^2=\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2+2xy}{2}\right]^2\left('\right)\)
\(xy\le\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(''\right)\)
Từ (') và ('') ta có:
\(3xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2+2.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}}{2}\right]^2=\left[\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\right]^2=\dfrac{9}{16}\left(x+y\right)^4\)
\(\Rightarrow xy\left(x^2+xy+y^2\right)\le\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^4\)
\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\le\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^5\left(5\right)\)
Từ (4), (5) ta có:
\(A\le\dfrac{6\left(x+y\right)^5+1993.\dfrac{3}{16}\left(x+y\right)^5}{6}=\dfrac{\dfrac{6075}{16}\left(x+y\right)^5}{6}=\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\)
\(\Rightarrow A\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\) hay
\(x^5+\dfrac{2023}{6}xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+y^5\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\left(6\right)\)
Từ (3), (6) ta có:
\(x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5\le\dfrac{2025}{32}\left(x+y\right)^5\)
\(\Rightarrow\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}\le\sqrt[5]{2025}.\dfrac{x+y}{2}\left(1'\right)\)
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta có:
\(\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}\left(2'\right)\)
Vì cả 2 vế của (1') và (2') đều dương nên lấy \(\left(1'\right).\left(2'\right)\) ta được:
\(\sqrt{xy}.\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}\le\sqrt[5]{2025}.\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(x+y\right)^2}\left(7\right)\)
CMTT ta cũng có:
\(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(y+z\right)^2}\left(8\right)\)
\(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}.\left(z+x\right)^2}\left(9\right)\)
Lấy \(\left(7\right)+\left(8\right)+\left(9\right)\) rồi nhân mỗi vế của BĐT mới cho \(\left(x+y+z\right)^2\) ta được:
\(\left(x+y+z\right)^2\left(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\right)\)\(\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2025}}\left(x+y+z\right)^2\left[\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\right]\left(10\right)\)
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\right]^2}}\)
\(\ge3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\left(\dfrac{x+y+y+z+z+x}{3}\right)^3\right]^2}}\)
\(=3.\sqrt[3]{\dfrac{1}{\left[\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)\right]^6}}=3.\dfrac{1}{\left[\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)\right]^2}=\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z+x\right)^2}\ge\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}\left(11\right)\)
Từ (10) và (11) ta có:
\(\left(x+y+z\right)^2\left(\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{xy}}}{\sqrt[5]{x^5+2023x^2y^2\sqrt{xy}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{yz}}}{\sqrt[5]{y^5+2023y^2z^2\sqrt{yz}+y^5}}+\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{zx}}}{\sqrt[5]{z^5+2023z^2x^2\sqrt{zx}+z^5}}\right)\)
\(\ge\dfrac{4}{\sqrt[5]{2023+2}}.\left(x+y+z\right)^2.\dfrac{27}{4\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{27}{\sqrt[5]{2023+2}}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
lâu rồi không gặp a, chúc mừng năm mới a, mà cái phương trình này lớp 9 còn e mới lớp 8 :)))))))))))))))
Chúc mừng năm mới 2024!
Thay mặt Ban quản trị cộng đồng học tập Hoc24, xin kính chúc các thầy cô giáo, các em học sinh yêu quý một năm mới nhiều niềm vui, sức khỏe tốt và gặt hái được nhiều thành công hơn nữa trong công việc và cuộc sống!
Có thể nói năm 2023 khép lại với đầy ý nghĩa và biến cố ngỡ ngàng.. để mở ra một năm 2024 sẽ đầy khó khăn và thử thách hơn,mong rằng năm 2024 sẽ mở ra thật nhiều cơ hội cho tất cả mọi người,các bạn đã sẵn sàng chưa nè ?
Cuối năm rồi ai có những buồn phiền hay những cảm xúc tiêu cực thì xua tan đi nhé<3 Tớ cũng cảm ơn hoc24 rất nhiều cảm ơn các bạn trên hoc24 đã chia sẽ niềm vui,hạnh phúc cho tớ!Hy vọng rằng khi năm 2023 trôi qua,khi đón chào một năm 2024 thì hoc24 vẫn sẽ hoạt động sôi nỗi như mọi khi💞💞
Chúc các bạn một năm 2024 an lành,càng ngày học giỏi,đạt nhiều thành tích tốt❣ (Chúc riêng ai đó càng ngày càng chinh đẹp hơn😣)
___Đêm sẽ tối, ngày sẽ sáng. Ngày rồi lại đến đêm chúc mn luôn tươi sáng như ban ngày và mạnh mẽ chiến đấu với ban đêm để được như ban ngày.
___Chúc cậu năm mới có thật nhiều sức khoẻ, gặt hái được nhiều thành công trong học tập cũng như trong cuộc sống, hạnh phúc bên GĐ. Mk chúc bố mẹ cậu luôn mạnh khoẻ mãi không già.
Nhân ngày 20 / 10 mình xin gửi ngàn lời chúc tốt đẹp nhất đến với các bn nữ của Online Math
Mong các bạn sẽ luôn mạnh khoẻ ,hạnh phúc ,gặt hái được nhiều thành công trong cuộc sống
Chúc bà và mẹ yêu của con có 1 ngày 20 / 10 thật ý nghĩa !!!
Mọi người hãy gửi cho các bạn nữ nhiều lời chúc thật tốt đẹp nhé
HAPPY NEW YEAR...... Mọi người năm mới vui vẻ, khoẻ và học thật tốt nha
THANKS YOU VERY MUCH(CẢM ƠN RẤT NHIỀU)
HAPPY NEW YEAR !
Nhân dịp năm mới 2017, cầu mong cho những điều tốt đẹp nhất sẽ đến với các bạn và gia đình, ai cũng đẹp… Ai cũng xinh… Ai cũng lung linh… Chúc gia đình bạn 1 năm mới thật hạnh phúc và ấm áp! ^^ Happy New Year 2017!!!
Kính chúc mọi người một năm mới tràn đầy sức khỏe, luôn luôn có niềm vui hạnh phúc trong cuộc sống: Vui trong sức khoẻ, trẻ trong tâm hồn, khôn trong trí tuệ và trưởng thành mọi lĩnh vực.
Năm hết tết đến kính chúc mọi người thật nhiều sức khỏe, miệng cười vui vẻ, tiền vào mạnh mẽ, cái gì cũng được suôn sẻ.
Cung chúc tân niên, Sức khỏe vô biên, Thành công liên miên, Hạnh phúc triền miên, Túi luôn đầy tiền, Sung sướng như tiên. Chúc mừng năm mới!
CHÚC MỪNG NĂM MỚI 2017. 12 tháng phú quý, 365 ngày phát tài, 8760 giờ sung túc, 525600 phút thành công, 31536000 giây = VẠN SỰ NHƯ Ý!
Ngày đầu tiên đi học
Cô giáo: em tên j
Em: e ko biết
Cô giáo: thế em về hỏi lại bố mẹ đi nha
Em: vâng
Về nhà
Con: bố ơi con tên j
Bố: đệt mẹ mày
Con: mẹ ơi con tên j
Mẹ: đệt bố mày
Cháu: ông ơi cháu tên j
Ông: cây đinh
Em: anh ơi em tên j
Anh: đa_vít_bếch_khăm
Em: chị ơi em tên j
Chị: sây_ô_dia
Lên lớp
Cô giáo: em đã biết tên mình chưa
Em: đệt mẹ mày
Cô giáo: em vừa nói j cơ
Em: đệt bố mày
Cô giáo: em nghĩ tôi là ai
Em: cây đinh
Cô giáo: em nghĩ em là ai
Em: đa_vít_bếch_khăm
Cô giáo: em ra ngoài ngay cho tôi
Em: sây_ô_dia
Hết rồi K đi cho đỡ mất công đọc !
chúc bạn một năm mới gặt hái nhiều thành công
Hôm nay là năm mới rồi , tớ chúc các bạn và các anh chị và các em luôn mạnh khỏe , chúc mọi người năm mới luôn học giỏi và được nhận lì xì nhiều nha.
Happy New Year mọi người
Cảm ơn bạn nhiều nha !!! HAPPY NEW YEAR 2018 !!! NĂM MỚI RỒI MÌNH CHÚC MỌI NGƯỜI LUÔN MAY MẮN NHA ! TRONG NĂM MẬU TUẤT NÀY MÌNH CHÚC CÁC BẠN NGÀY CÀNG HỌC GIỎI HƠN VÀ MÌNH CŨNG MONG MỌI NGƯỜI SẼ KHỎE MẠNH NHÉ !!! NĂM MỚI MAY MẮNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNN !
Thanks .Chúc bạn năm mới luôn mạnh khoẻ ,hạnh phúc ,an khang ,thịnh vượng và có nhiều niềm vui trong cuộc sống!!!
Sang năm mới chúc mọi người mạnh khỏe, hạnh phúc và thành công trong mọi lĩnh vực!
* ~ HAPPY NEW YEAR ~*
cảm ơn bạn ,mình chúc bạn mạnh khỏe ,hạnh phúc ,xinh xắn nhé phương
mình cũng chúc bạn năm mới vui vẻ thêm tuổi mới
cảm ơn bạn nhiều nha. mình cũng chúc bạn vui vẻ mạnh khỏe gặp nhiều may mắn nha
năm mới rồi chúc mọi người an khang thịnh phượng như ý -vui vẻ-tiền vào như nước chúc mọi người hạnh phúc bên người thân và học thật tốt nha
happy new year
Mk cảm ơn bạn mk cũng chúc bạn năm mới an khang - thịnh vượng gia đìng hạnh phúc nhé ( HAPPY NEW YEAR )