ta có :

\(P=a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right).b.\frac{1}{b\left(a-b\right)}}=3\)

Vậy m=3

dấu bằng xảy ra khi \(a-b=b=\frac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)

vậy \(\hept{\begin{cases}a_1=2\\b_1=1\end{cases}\Rightarrow a_1+b_1+m=2+1+3=6}\)

Đáp án B

Đặt  và giả thiết trở thành 

Suy ra 

Phương trình có nghiệm khi 

Chọn D.

Để phương trình có nghiệm thì : 

\(\Delta_x=a^2-\left(2a^2+b^2-5\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\le5\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le5+2ab\)

\(\Leftrightarrow ab\ge\frac{\left(a+b\right)^2-5}{2}\)

Ta có :

\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)=ab+a+b+1\)

\(\ge\frac{\left(a+b\right)^2-5}{2}+\left(a+b\right)+1=\frac{1}{2}\left(a+b+1\right)^2-2\ge-2\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-2\\b=1\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

a 2 + b 2 ≥ 2 a b ,   b 2 + c 2 ≥ 2 b c ,   c 2 + a 2 ≥ 2 c a  

Do đó:  2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2 ( a b + b c + c a ) = 2.9 = 18 ⇒ 2 P ≥ 18 ⇒ P ≥ 9

Dấu bằng xảy ra khi  a = b = c = 3 . Vậy MinP= 9 khi  a = b = c = 3

Vì  a ,   b ,   c   ≥ 1 , nên  ( a − 1 ) ( b − 1 ) ≥ 0 ⇔ a b − a − b + 1 ≥ 0 ⇔ a b + 1 ≥ a + b

Tương tự ta có  b c + 1 ≥ b + c ,   c a + 1 ≥ c + a  

Do đó  a b + b c + c a + 3 ≥ 2 ( a + b + c ) ⇔ a + b + c ≤ 9 + 3 2 = 6

Mà   P = a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c 2 − 2 a b + b c + c a = a + b + c 2 – 18

⇒ P ≤ 36 − 18 = 18 . Dấu bằng xảy ra khi :  a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1

Vậy maxP= 18 khi :  a = 4 ; b = c = 1 b = 4 ; a = c = 1 c = 4 ; a = b = 1

Đáp án A

Ta có  log a b b = log a b a . b a = log a b a − 1 .

Do đó

P = 2 2 log a b a − log a b a − 1 2 + 27 log a b a = 2 log a b a + 1 2 + 27 log a b a .

Đặt t = log a b a . Do  1 < a ≤ b 2 ⇒ a ≤ b   .

Suy ra 

1 t = 1 log a b a = log a a b = 1 − log a b ≤ 1 − log a a = 1 − 1 2 = 1 2 ⇒ t ≥ 2

Khi đó P = 2 t + 1 2 + 27 t = f t .

Khảo sát   f t trên 2 ; + ∞ , ta được f t  đạt giá trị nhỏ nhất bằng 63 2  khi t=2.

Với  t = 2 ⇒ log a b a = 2 ⇔ a = b 2   .