Cho các số thực dương a, b, c. CMR:
\(\dfrac{b+c+5}{a+1}+\dfrac{a+c+4}{b+2}+\dfrac{a+b+3}{c+3}\ge6\)
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn : ab+bc+ca = 3. CMR\(\dfrac{1+3a}{1+b^2}+\dfrac{1+3b}{1+c^2}+\dfrac{1+3c}{1+a^2}\ge6\)
Xét các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(abc=a+b+c+2\). CMR:
$$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le \dfrac{3}{4}$$
cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=9. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{b+c+7}{2+a}+\dfrac{c+a+6}{3+b}+\dfrac{a+b+5}{4+c}\ge6\) Dấu bằng xảy ra khi nào?
lần đầu tự làm được 1 bài bđt theo kiểu nháp phát đc liền... hp quớ ~~~
Đặt A = VT
từ giả thiết, ta suy ra:
\(A=\dfrac{b+c+a+b+c-2}{2+a}+\dfrac{c+a+a+b+c-3}{3+b}+\dfrac{a+b+a+b+c-4}{4+c}\)
\(=\dfrac{2\left(a+b+c\right)-2-a}{2+a}+\dfrac{2\left(a+b+c\right)-3-b}{3+b}+\dfrac{2\left(a+b+c\right)-4-c}{4+c}\)
\(=2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{3+b}+\dfrac{1}{4+c}\right)-3\)
\(=18\left(\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{3+b}+\dfrac{1}{4+c}\right)-3\)
Đặt \(B=\dfrac{1}{2+a}+\dfrac{1}{3+b}+\dfrac{1}{4+c}\)
Áp dụng bđt schwarz cho các số thực không âm:
\(B\ge\dfrac{9}{a+b+c+9}=\dfrac{1}{2}\)
vậy \(A\ge18\cdot B-3=18\cdot\dfrac{1}{2}-3=6\left(đpcm\right)\)
dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{2+a}=\dfrac{1}{3+b}=\dfrac{1}{4+c}=\dfrac{1}{6}\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=3\\c=2\end{matrix}\right.\)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. CMR: \(a^5+b^5+c^5+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge6\)
1. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa a+b+c=3. Cmr \(\dfrac{a^2}{a+2b^2}+\dfrac{b^2}{b+2c^2}+\dfrac{c^2}{c+2a^2}\ge1\)
2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=1\). Cmr: \(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\ge\dfrac{3}{4}\left(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}\right)^2\)
3.Cho a,b,c là các số thực dương thỏa \(a^2+b^2+c^2=3\). Cmr:\(\sqrt{\dfrac{a^2}{b+b^2+c}}+\sqrt{\dfrac{b^2}{c+c^2+a}}+\sqrt{\dfrac{c^2}{a+a^2+b}}\le3\)
Bài 1:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\)
\(=a-\frac{2ab^2}{a+2b^2}+b-\frac{2bc^2}{b+2c^2}+c-\frac{2ca^2}{c+2a^2}=(a+b+c)-2\left(\frac{ab^2}{a+2b^2}+\frac{bc^2}{b+2c^2}+\frac{ca^2}{c+2a^2}\right)\)
\(=3-2M(*)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(M=\frac{ab^2}{a+b^2+b^2}+\frac{bc^2}{b+c^2+c^2}+\frac{ca^2}{c+a^2+a^2}\leq \frac{ab^2}{3\sqrt[3]{ab^4}}+\frac{bc^2}{3\sqrt[3]{bc^4}}+\frac{ca^2}{3\sqrt[3]{ca^4}}\)
\(\Leftrightarrow M\leq \frac{1}{3}(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2})\)
Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy:
\(\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{b^2c^2}+\sqrt[3]{c^2a^2}\leq \frac{ab+ab+1}{3}+\frac{bc+bc+1}{3}+\frac{ca+ca+1}{3}=\frac{2(ab+bc+ac)+3}{3}\)
Mà \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3\) (quen thuộc)
\(\Rightarrow M\leq \frac{1}{3}.\frac{2.3+3}{3}=1(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\geq 3-2.1=1\)
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^3}{a^2+a^2b^2}+\frac{b^3}{b^2+b^2c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2c^2}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{a^2+a^2b^2+b^2+b^2c^2+c^2+c^2a^2}\)
hay:
\(\text{VT}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}(*)\)
Mặt khác, theo BĐT Cauchy ta dễ thấy:
\(a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^2\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(\Leftrightarrow 1\geq 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq \frac{1}{3}(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{1+\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2\)
Ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Cho a,b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR:
\(\dfrac{1}{a^2+b^2+2}+\dfrac{1}{b^2+c^2+2}+\dfrac{1}{c^2+a^2+2}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\frac{1}{a^2+b^2+2}+\frac{1}{c^2+b^2+2}+\frac{1}{a^2+c^2+2}\le\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}+\frac{b^2+c^2}{b^2+c^2+2}+\frac{c^2+a^2}{c^2+a^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)
Cần chứng minh \(\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge0\) *luôn đúng*
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR: \(\dfrac{1}{2+a^2b}+\dfrac{1}{2+b^2c}+\dfrac{1}{2+c^2a}\) ≥ 1
Cho các số thực dương a,b và c thoả mãn: \(\dfrac{1}{a+2}\)+\(\dfrac{1}{b+2}\)+\(\dfrac{1}{c+2}\)\(\ge\dfrac{3}{2}\)
CMR: \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)
\(\dfrac{2}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{a+2}-1+\dfrac{2}{b+2}-1+\dfrac{2}{c+2}-1\ge2-3\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{a}{a+2}+\dfrac{b}{b+2}+\dfrac{c}{c+2}=\dfrac{a^2}{a^2+2a}+\dfrac{b^2}{b^2+2b}+\dfrac{c^2}{c^2+2c}\)
\(\Rightarrow1\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+2a+b^2+2b+c^2+2c}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\) đpcm
Phía trên thoả mãn \(\ge1\) chứ không phải 3/2 đâu ạ
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc =1 .CMR
\(\dfrac{3+a}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{3+b}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{3+c}{\left(1+c\right)^2}\ge3\)
Bài này đã có ở đây:
Cho abc=1CMR\(\dfrac{a+3}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{b+3}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{c+3}{\left(c+1\right)^2}\ge3\) - Hoc24